葛侖斯坦環

在交換代數中，一個葛侖斯坦局部環是一個內射維度有限的交換、局部諾特環。一個葛侖斯坦環（英文：Gorenstein ring）是對每個素理想的局部化皆為葛侖斯坦局部環的交換環。葛侖斯坦環是科恩-麥考利環的特例，它與凝聚對偶性定理（塞爾對偶性定理的推廣）有密切關係。

葛侖斯坦環以數學家丹尼爾·葛侖斯坦命名。

其它定義
對於局部環 (R, \mathfrak{m}, k)，葛侖斯坦局部環的古典定義是：R 是科恩-麥考利環，而且存在 \mathfrak{m} 中的 R-正則序列，使之生成一個不可約理想。在 R 為有限維諾特環時，下述性質等價：

R 的內射維度有限，記為 n。
存在 n \in \N，當 i \neq n 時，\operatorname{Ext}^i_R (k, R) = 0，而且 \operatorname{Ext}^n_R (k, R) \cong k。
存在 n \in \N，當 i > n 時，\operatorname{Ext}^i_R (k, R) = 0。
存在 n \in \N，對某個 i > n 有 \operatorname{Ext}^i_R (k, R) = 0。
存在 n \in \N，當 i 時，\operatorname{Ext}^i_R (k, R) = 0，而且 \operatorname{Ext}^n_R (k, R) \cong k。

此時 R 是 n-維葛侖斯坦環。

非交換情形
若一個環（不一定交換）視為左 R-模及右 R-模的內射維度皆有限，則稱之為葛侖斯坦環。

例子

文獻

Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge studies in advanced mathematics 8.
N. Bourbaki, Algèbre commutative, chapitre 10 (1998), Masson. ISBN 3-540-34394-6