阿廷模

阿廷模是抽象代數中一類滿足降鏈條件的模。

定義
以下固定一個環 A。設 M 為左 A-模，當 M 滿足下列，則稱 M 為阿廷模：
: 對所有由 M 的子模構成的降鏈 M_1 \supset M_2 \supset \cdots，存在 N \in \mathbb N 使得 i \geq \mathbb{N} \Rightarrow M_i = M_{i+1}；換言之，此降鏈將會固定。

若將上述定義中的左模換成右模，可得到右阿廷模的定義。

性質

• 若 A 是 k-代數，任何在 k 上有限維的 A-模都是阿廷模。
• 若 N \subset M，且 N 與 M/N 皆為阿廷模，則 M 為阿廷模。
• 阿廷模的子模與商模皆為阿廷模。
• 阿廷模與環的性質差異之一，在於有非諾特模的阿廷模，以下將給出一個例子：

: 令 M := \mathbb{Z}[1/p]/\mathbb{Z}，視之為 \mathbb Z-模。升鏈
: \langle 1/p \rangle \subset \langle 1/p^2 \rangle \subset \langle 1/p^3 \rangle \cdots
: 不會固定，因此 M 並非諾特模。然而我們知道 M 的任何子模皆形如 \langle 1/n \rangle，由此可知任何降鏈皆可寫成
: \langle 1/n_1 \rangle \supset \langle 1/n_2 \rangle \supset \langle 1/n_3 \rangle \cdots
: 其中 n_{i+1} | n_i ，故將固定，於是 M 是阿廷模。

文獻

• Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X