積範疇
數學分支範疇論中，兩個範疇\mathcal {C, D}之積，是集合的笛卡兒積的延申。乘積以\mathcal {C \times D}表示，其結果又稱積範疇（）。定義雙函子及多函子時，要用到積範疇。 定義 積範疇\mathcal{C \times D}的組成部分有： 物件，為 :有序對(A, B)，其中A是\mathcal C的物件，而B是\mathcal D的物件； 態射，由物件(A_1, B_1)至物件(A_2, B_2)的態射為：…
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反射子范畴
数学中，范畴 \mathcal B 的全子範疇 \mathcal A 称在 \mathcal B 中反射，当且仅当从 \mathcal A 到 \mathcal B 的包含函子拥有左伴随。该伴随亦称反射子或局部化。对偶地，\mathcal A 称在 \mathcal B 中余反射，当且仅当包含函子具右伴随。 通俗而论，反射子实现一类完成操作，补全结构中所有“缺失”块，再而反射则无更多现象。 定义 范畴 \mathcal B 的全子范畴 …
環的局部化
在抽象代數中，局部化是一種在環中形式地添加某些元素的倒數，藉以建構分式的技術；由此可透過張量積構造模的局部化。範疇的局部化過程類似，但此時加入的是態射之逆元素，以使得這些態射在局部化以後變為同構。 局部化在環論與代數幾何中佔有根本地位，範疇的局部化則引出導範疇的概念，在高等數學中有眾多應用。 幾何詮釋 「局部化」一詞源出代數幾何。設 R 是一個仿射代數簇 X 的座標環（也就是 X 上的多項式函數），則 R 對其元素 f 的局部化的意義是…
幺半群
在抽象代數中，幺半群，又稱為單群、亞群、独异点、具幺半群或四分之三群（）是指一個帶有可結合二元運算和單位元的代數結構。 么半群在許多的數學分支中都會出現。在幾何學中，幺半群捉取了函數複合的概念；更確切地，此一概念是從範疇論中抽象出來的，之中的幺半群是個帶有一個物件的範疇。幺半群也常被用來當做電腦科學的堅固代數基礎；在此，變換幺半群和語法幺半群被用來描述有限狀態自動機，而和則是做為進程演算和並行計算的基礎。幺半群的研究中一些較重要的結論有…
子商
在抽象代數及範疇論中，子商（）是很常用的概念。這是子結構（例如子群、子模、子表示）與商結構（例如商群、商模、商表示）的推廣。 固定一個範疇 \mathcal{C}。若 \mathcal{C} 中的對象 X 能表成某對象 Y 的子對象之商，則稱 X 為 Y 的子商。在群與阿貝爾範疇的框架下皆可定義子商。在群論中，有時也將子商稱為截面。
具體範疇
在數學裡，具體範疇一般被認為是這樣的一種範疇，其物件為結構性的集合，態射為結構保持的函數，而態射複合則為函數複合。其形式定義並不和此直觀完全吻合。 集合與函數的範疇Set 當然為一具體範疇，因為每個集合都可以被認為戴有一個「當然結構」。更重要的例子還包括了拓樸空間和連續函數的範疇Top與群和同態的範疇Grp。 定義 一個具體範疇為一對(C,U)，會使得 C為一範疇，且 U為一忠實函子C → Set。 U被認為是一種遺忘函子，它將C中的每…
子範疇
在數學中，一個範疇C的子範疇是一個範疇S，其物件為C內的物件，態射為C內的態射，且有相同的單位態射與態射複合。直觀上來看，C的子範疇是一個從C中「移去」部份物件和態射的範疇。 形式定義 令C為一範疇。C的子範疇S給定於 C中物件的子類，標記為ob(S)， C中態射的子類，標記為hom(S)。使得 對每個在ob(S)內的X而言，單位態射idX會在hom(S)內。 對每個在hom(S)內的態射f : X → Y而言，源物件X和目標物件Y都會…
米田引理
在範疇論中，米田引理斷言一個對象X的性質由它所表示的函子\mathrm{Hom}(X,-)或\mathrm{Hom}(-,X)决定。此引理得名于日本數學家暨計算機科學家米田信夫。 陳述 設\mathcal{C}為一範疇，定義兩個函子範疇如下： : \mathcal{C}^\wedge := \mathrm{Fct}(\mathcal{C}, \mathbf{Set}) : \mathcal{C}^\vee := \mathrm{Fct}…
濾子化範疇
在範疇論中，若一個範疇I滿足下列條件，則稱它是濾子化的（或）： I非空。 對任意對象i,j \in I，存在對象k \in I及態射i \rightarrow k, j \rightarrow k。 * 對任兩個態射f, g: i \rightarrow j，存在對象k \in I及態射h: j \rightarrow k，使得h \circ f = h \circ g。 以濾子化範疇為索引的上極限稱作濾子化上極限，它帶有良好的性質。 …