在範疇論中，米田引理斷言一個對象X的性質由它所表示的函子\mathrm{Hom}(X,-)或\mathrm{Hom}(-,X)决定。此引理得名于日本數學家暨計算機科學家米田信夫。
陳述
設\mathcal{C}為一範疇，定義兩個函子範疇如下：
: \mathcal{C}^\wedge := \mathrm{Fct}(\mathcal{C}, \mathbf{Set})
: \mathcal{C}^\vee := \mathrm{Fct}(\mathcal{C}^{\mathrm{op}}, \mathbf{Set})
並定義兩個函子：
: h_\mathcal{C}(X) = h_X := \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(-,X)
: k_\mathcal{C}(X) = k_X := \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X,-)
其中h_\mathcal{C} : C \to \mathcal{C}^\wedge而k_\mathcal{C}: C \to \mathcal{C}^\vee。
米田引理的抽象陳述如下：
米田引理。有自然的同構
: \forall X \in \mathcal{C}, A \in \mathcal{C}^\wedge \quad \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}^\wedge}(h_X, A) \simeq A (X)
: \forall X \in \mathcal{C}, B \in \mathcal{C}^\vee \quad \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}^\vee}(k_X, B) \simeq B (X)
這兩個同構對所有變元A, B, X都滿足函子性。
對任一對象Y \in \mathcal{C}，在上述同構中分別取A = h_Y, B = k_Y，便得到米田引理最常見的形式：
推論。函子h_\mathcal{C} : C \to \mathcal{C}^\wedge與k_\mathcal{C}: C \to \mathcal{C}^\vee是完全忠實的。
應用
由上述推論，範疇中的對象X由它所表示的函子h_X或k_X唯一確定（至多差一個同調），這是可表函子理論的根基所在。例如在代數幾何中，一個常見的技術是將概形等同於它所代表的函子，後者往往具有直觀的幾何詮釋，技術上亦較容易處理；另一方面，我們也往往從函子的觀點研究空間的商、極限或者是模空間問題，第一步是定義適當的「函子解」，其次再研究它可表與否。代數拓撲中的分類空間也是可表函子概念的體現。
文獻
- Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490
外部連結
- [https://web.archive.org/web/20070402075309/http://www.institut.math.jussieu.fr/~schapira/polycopies/Sta.pdf Pierre Schapira, Categories, sites, sheaves and stacks]
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