在数学中，嘉当子代数（Cartan subalgebra，缩写为 CSA），是一个李代数 \mathfrak{g} 的自正规化（如果 [X,Y] \in \mathfrak{h} 对所有 X \in \mathfrak{h}，那么Y \in \mathfrak{h}）、幂零子代数，通常用 \mathfrak{h} 表示。
存在性和唯一性
当基域是无限域时，有限维李代数的嘉当子代数总是存在的。如果基域是代数闭的且特征为零，那么对给定的有限维李代数，所有嘉当子代数通过李代数的自同构都是共轭的，因此也是同构的。
半单李代数的嘉当子代数
对基域是代数闭的且特征为零的半单李代数，它的嘉当子代数是交换的并有下面的性质：\mathfrak{g} 的伴随表示限定到 \mathfrak{h} 上是 \mathfrak{g} 的一个对角化表示，并且特征值为零的特征空间正是 \mathfrak{h} 。非零的权称为根，对应的特征空间称为根空间；所有的根空间都是一维的。
例子
- 任何幂零李代数是它自己的嘉当子代数。
- n×n 矩阵 李代数的嘉当子代数是所有对角阵形成的子代数。
- 迹为0的二阶矩阵李代数\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})有两个不共轭的嘉当子代数。
参考文献
*
*
*
*
评论 (0)