在数学中，一个向量空间V的张量代数（），记作T(V)，是V上的（任意阶）张量的代数，其乘法为张量积。张量代数左伴随于从代数到向量空间的遗忘函子，在这种意义下它是V上的自由代数；在相应的泛性质的意义下，它是包含V的“最一般的代数”（见下）。
张量代数也具有餘代数结构。
注：本文中所有代数都假设是有单位的且结合。
构造
设V是域K上一个向量空间。对任何非负整数k，我们定以V的*k次张量积*为V*与自己的k次张量积：
:T^kV = V^{\otimes k} = \underset{k}{\underbrace{V\otimes V \otimes \cdots \otimes V}}。
这便是讲，T^kV由V上所有秩k张量组成。习惯上T^0V是基域K（作为自己的一维向量空间）。
令T(V)为所有T^kV（k=0,1,2,\ldots）的直和：
:T(V)= \bigoplus_{k=0}^\infty T^kV = K\oplus V \oplus (V\otimes V) \oplus (V\otimes V\otimes V) \oplus \cdots。
T(V)中的乘法由典范同构确定：
:T^kV \otimes T^\ell V \to T^{k + \ell}V
由张量积给出，然后线性扩张到所有T(V)。此乘法表明张量代数T(V)自然是一个分次代数，T^kV作为k次子空间。
此构造可径直推广到任意交换环上的模M上。如果R是一个非交换环，我们仍然可以对任意R-R 双模执行这样的构造。（对通常的R-模不行，因为没有迭代张量积。）
伴随与泛性质
张量代数T(V)也成为向量空间V上的自由代数，并具有函子性。像其它自由构造一样，函子T左伴随于某个遗忘函子，该函子将每个K-代数送到它的底向量空间。
准确地说，张量代数满足如下的泛性质，正式地表明它是包含V的最一般的代数：
:任何从V到K上的一个代数A的线性变换f:V\rightarrow A可以惟一地扩张为从T(V)到A的一个代数同态，如下交换图表所示：
这里i是V到T(V)的典范包含（伴随的单位）。事实上可以定义张量代数T(V)为满足这个性质惟一的代数（确切地说，在惟一的一个同构意义下），但仍然要证明满足这个性质的对象存在。
如上泛性质说明张量代数的构造有自然的函子性。就是讲，T是从*K-Vect*，K上向量空间范畴，到K-Alg*，K-代数范畴，的一个函子。T的函子性意味着任何从V到W*的线性映射惟一地扩张为从T(V)到T(W)的代数同态。
非交换多项式
如果V为有限维n，张量代数的另一个看法是“ K上n个非交换变量的多项式代数”。如果我们取V的基向量，它们成为T(V)中的非交换变量（或不定元），彼此间没有任何约束（除了结合律，分配律以及K-线性）。
注意V上的多项式代数不是T(V)，而是T(V^)：V上一个（齐次）线性函数是V^中的一个元素。
商
因为张量代数的一般性，许多其它有趣的代数可以由张量代数开始构造，然后在生成元上施以一定的关系，即构造T(V)一定的商代数。这样的例子譬如外代数、对称代数、克利福德代数以及泛包络代数。
余代数结构
张量代数上的余代数结构如下。余积\Delta定义为
:\Delta(v_1 \otimes \dots \otimes v_m ) := \sum_{i=0}^{m}
(v_1 \otimes \dots \otimes v_i) \otimes (v_{i+1} \otimes \dots \otimes v_m)
线性扩张到整个TV。余单位由\varepsilon(v)=v的0-次分量。注意到\Delta:TV\rightarrow TV\otimes TV保持分次：
:T^mV \to \bigoplus_{i+j=m} T^iV \otimes T^jV
而\varepsilon也与分次相容。
张量代数在这个余积下不是双代数。但下述更复杂的余积确实得到一个余代数：
:\Delta(x_1\otimes\dots\otimes x_m) = \sum_{p=0}^m \sum_{\sigma\in\mathrm{Sh}_{p,m-p}} \left(v_{\sigma(1)}\otimes\dots\otimes v_{\sigma(p)}\right)\otimes\left(v_{\sigma(p+1)}\otimes\dots\otimes v_{\sigma(m)}\right)
这里求和取遍所有(p,m-p)-牌序。最后，对极映射为：
:S(x_1\otimes\dots\otimes x_m) = (-1)^mx_m\otimes\dots\otimes x_1
线性扩张到整个TV，这样张量代数成为一个霍普夫代数。
参见
*
*幺半范畴
Stanisław Lem's Love and Tensor Algebra*
参考文献
*
- Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician(2nd ed.). GTM5. Spinger, 1998
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