反对称张量

数学和理论物理学中，若一张量的符号（+/−）随着指标子集的互换而变化，则称此向量在指标子集上是反对称的（或相对于指标子集反对称）。指标子集一般必须是全协变或全反变的。

例如，
T_{ijk\dots} = -T_{jik\dots} = T_{jki\dots} = -T_{kji\dots} = T_{kij\dots} = -T_{ikj\dots}
当张量对前三个指标反对称时成立。

若张量在交换每对指标时符号都变化，就称此向量是全反对称的。k阶全反对称协变张量场可称作微分k-形式，全反对称反变向量场可称作k-向量场。

反对称张量与对称张量
对指标i、j反对称的张量A与对指标i、j对称的张量B的缩并都是0。

对于包含U_{ijk\dots}的一般张量U和一对指标i、j，U可分为对称部分和反对称部分：

:

其他指标对也可给出类似定义。正如“部分”暗示的，对给定的一对指标，张量是其对称部分和反对称部分之和，例如
U_{ijk\dots} = U_{(ij)k\dots} + U_{[ij]k\dots}.

符号
反对称可用方括号表示。例如，对任意维的2阶协变张量M，
M_{[ab]} = \frac{1}{2!}(M_{ab} - M_{ba}),
对3阶协变张量T，
T_{[abc]} = \frac{1}{3!}(T_{abc}-T_{acb}+T_{bca}-T_{bac}+T_{cab}-T_{cba}).

在任意2维和3维中，都可以写成
\begin{align}
M_{[ab]} &= \frac{1}{2!} \, \delta_{ab}^{cd} M_{cd} , \\[2pt]
T_{[abc]} &= \frac{1}{3!} \, \delta_{abc}^{def} T_{def} .
\end{align}
其中\delta_{ab\dots}^{cd\dots}是广义克罗内克δ函数，我们使用爱因斯坦求和约定对同类指标求和。

更一般地说，无论维数多少，p个指标上的反对称都可表为
T_{[a_1 \dots a_p]} = \frac{1}{p!} \delta_{a_1 \dots a_p}^{b_1 \dots b_p} T_{b_1 \dots b_p}.

一般说来每个秩为2的张量都能分解为一对对称张量和一对反对称张量，如
T_{ij} = \frac{1}{2}(T_{ij} + T_{ji}) + \frac{1}{2}(T_{ij} - T_{ji}).

对秩大于等于3的张量，这种分解一般并不正确，因为它们具有更复杂的对称性。

例子
全反对称张量包括：

• 平凡地，所有标量与向量（阶为0、1的张量）是全反对称的（也是全对称的）。
• 电磁学中的电磁张量F_{\mu\nu}。
• 伪黎曼流形上的黎曼体积形式。

另见

• 反对称矩阵
• 外代数
• 列维-奇维塔符号

• 里奇微积分

• 对称张量
• 对称化

注释
参考文献
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外部链接

• [http://mathworld.wolfram.com/AntisymmetricTensor.html Antisymmetric Tensor – mathworld.wolfram.com]