并矢积

在数学特别是双线性代数中，有同样维度的两个向量 \mathbf{u} 和 \mathbf{v} 的并矢积

:\mathbb{P} = \mathbf{u}\otimes\mathbf{v}

是这些向量的张量积，而结果是阶为 2 的张量。

分量
关于选定的基 \{\mathbf{e}_i\}，并矢积 \mathbb{P} = \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} 的分量 P_{ij} 可以定义为

:P_{ij} = u_i v_j ,

这里的
:\mathbf{u} = \sum_i u_i \mathbf{e}_i ,
:\mathbf{v} = \sum_j v_j \mathbf{e}_j ,

而
:\mathbb{P} = \sum_{i,j} P_{ij} \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j .

矩阵表示
并矢积可以简单的表示为通过列向量 \mathbf{u} 乘以行向量 \mathbf{v} 的方块矩阵。例如，

:
\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}
\rightarrow
\begin{bmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
u_1v_1 & u_1v_2 & u_1v_3 \\
u_2v_1 & u_2v_2 & u_2v_3 \\
u_3v_1 & u_3v_2 & u_3v_3
\end{bmatrix} ,

这里的箭头指示这只是并矢积关于特定基的特定表示。在这种表示中，并矢积是克罗内克积的特殊情况。

参见

• 并矢张量
• 张量积
• 克罗内克积
• 外积

Dyadic product
Умножение двухэлементного тензора
Множення двохелементного тензора