在微分几何中，拉回是将一个流形上某种结构转移到另一个流形上的一种方法。具体地说，假设 \phi: M\rightarrow N 是从光滑流形 M 到 N 的光滑映射；那么伴随有一个从 N 上 1- 形式（余切丛的截面）到 M 上 1-形式的线性映射，这个映射称为由 \phi 拉回，经常记作 \phi^。更一般地，任何 N 上共变张量场——特别是任何微分形式——都可以由 \phi* 拉回到 M 上。
当映射 \phi 是微分同胚，那么拉回与前推一起，可以将任何 N 上的张量场变换到 M，或者相反。特别地，如果 \phi 是 \mathbb{R}^n 的开集与 \mathbb{R}^n 之间的微分同胚，视为坐标变换（也许在流形 M 上不同的坐标卡上），那么拉回和前推描述了共变与反变张量用更传统方式（用基）表述的变换性质。
拉回概念背后的本质很简单，是一个函数和另外一个函数的前复合。但是将这种想法运用到许多不同的情形，可以构造许多复杂的拉回。本文从简单的操作开始，然后利用它们构造更复杂的。粗略地讲，拉回手法（利用前复合）将微分几何中多种不同的结构变成反变函子。
光滑函数与光滑映射
设 \phi: M\rightarrow N 是光滑流形 M 与 N 之间的光滑映射，假设 f:N\rightarrow \mathbb{R} 是 N 上一个光滑函数。则 f 通过 \phi 的拉回是 M 上的光滑函数 \phi^ f，定义为(\phi^ f)(x)=f(\phi(x))。类似地，如果 f 是 N 中开集 U 上的光滑函数，则相同的公式定义了 M 中开集 \phi^{-1}(U) 上一个光滑函数。用层的语言说，拉回定义了 N 上光滑函数层到 \phi 的直接像（在 M 上光滑函数层中）的一个态射。
更一般地，如果 f:N\rightarrow A 是从 N 到任意其他流形 A 的光滑映射，则 \phi^ f(x)=f(\phi(x)) 是从 M* 到 A 的一个光滑映射。
丛与截面
如果 E 是 N 上一个向量丛（或任意纤维丛），\phi: M\rightarrow N 是光滑映射，那么拉回丛 \phi^ E 是 M 上一个向量丛（或更一般地纤维丛），其 M 中的点 x 处的纤维由 (\phi^ E)_x = E_{\phi(x)} 给出。
在此情形，前复合定义了 E 上截面的一个变换：如果 s 是 N 上 E 的一个截面，那么拉回截面 \varphi^s=s\circ\varphi 是 M 上拉回丛 \phi^ E 的一个截面。
多重线性形式
设 \Phi:V\rightarrow W 是向量空间 V 与 W 之间的一个线性映射（即，\Phi 是 L(V,W) 中的元素，也记成 \hom(V,W)），设
:F:W \times W \times \cdots \times W \rightarrow \mathbb{R}
是 W 上一个多重线性形式（也称为 (0,s) 阶张量——但不要和张量场混淆——这里 s 是乘积中 W 的因子的个数）。则 F 由 \Phi 的拉回 \Phi^ F 是一个 V 上的多重线性形式，定义为 F 与 \Phi 的前复合。准确地，给定 V 中向量 v_1,v_2,\cdots,v_s，\Phi^ F 由公式定义
:(\Phi^*F)(v_1,v_2,\ldots,v_s) = F(\Phi(v_1), \Phi(v_2), \ldots ,\Phi(v_s)),
这是 V 上一个多重线性形式。从而 \Phi^ 是一个从 W 上的多重线性形式到 V 上的多重线性形式的（线性）算子。作为一个特例，注意到如果 F 是 W 上一个线性形式（或 (0,1) -张量），那么 F 是 W 的对偶空间 W^ 中一个元素，则 \Phi^ F 是 V^ 中一个元素，所以拉回定义了对偶空间之间一个线性映射，作用的方向与线性映射 \Phi 自己的方向相反：
:\Phi\colon V\rightarrow W, \qquad \Phi^\colon W^\rightarrow V^*.
从张量的观点来看，自然想把来回这种概念推广到任何阶，即 W上取值于 r 个 W 的张量积 W\otimes W\otimes\cdots\otimes W 的线性映射。但是，这种张量积不能自然的拉回：不过有从
V\otimes V\otimes\cdots\otimes V 到 W\otimes W\otimes\cdots\otimes W 的前推算子，定义为
:\Phi_*(v_1\otimes v_2\otimes\cdots\otimes v_r)=\Phi(v_1)\otimes \Phi(v_2)\otimes\cdots\otimes \Phi(v_r).
然而，如果 \Phi 可逆，拉回可以用逆函数 \Phi^{-1} 的前推定义。将一个可逆线性映射与这两个构造放在一起，得到了对任何 (r,s) 阶张量一个拉回算子。
余切向量与 1 形式
设 \phi: M\rightarrow N 是光滑流形间的光滑映射。那么 \phi 的前推：\phi = \operatorname{d}\!\phi （或 D\phi），是从 M 的切丛 TM 到拉回丛 \phi^TN 的（在 M 上）向量丛同态。从而 \phi 的转置是从 \phi^T^N 到 M 的余切丛 T^ M 的丛映射。
现在假设 \alpha 是 T^ N 的一个截面（N 上一个 1-形式），将 \alpha 与 \phi 前复合得到 \phi^ T^ N的一个拉回截面。将上述（逐点）丛映射应用到截面导致 \alpha 由 \phi* 的拉回，是 M 上一个 1-形式，定义为：
: (\varphi^*\alpha)_x(X) = \alpha_{\varphi(x)}(\mathrm d\varphi_x(X))
对 x 属于 M 与 X 属于 T_xM。
（共变）张量场
对任何自然数 s，上述构造马上可推广到 (0,s) 阶张量丛上。流形 N 上 (0,s) 张量场 是 N 上张量丛的一个截面，在 N 中 y 点的截面是多重线性 s-形式空间
: F\colon T_y N\times\cdots \times T_y N\to \R.
取 \Phi 等于从 M 到 N 的一个光滑映射的微分（逐点的），多重线性形式的拉回可与截面的拉回复合得出 M 上 (0,s) 张量场的拉回。更确切地，如果 S 是 N 上一个 (0,s)-张量场，那么 S 由 \phi 的拉回 是 M 上 (0,s)-张量场 \phi^*S，定义为
: (\varphi^*S)_x(X_1,\ldots, X_s) = S_{\varphi(x)}(\mathrm d\varphi_x(X_1),\ldots \mathrm d\varphi_x(X_s))\ ,
对 x 属于 M 与 X_j 属于 T_xM。
微分形式
共变张量场拉回的一个特别重要的例子是微分形式的拉回。如果 \alpha 是一个微分 k-形式，即 TN（逐点）反交换 k-形式组成的外丛 \Lambda^k T^N 的一个截面，则 \alpha 的拉回是 M* 上一个微分 k-形式，定义与上一节相同：
: (\varphi^*\alpha)_x(X_1,\ldots, X_k) = \alpha_{\varphi(x)}(\mathrm d\varphi_x(X_1),\ldots \mathrm d\varphi_x(X_k))\ ,
对 x 属于 M 与 X_j 属于 T_xM。
微分形式的拉回有两个性质，使其非常有用。
- 和楔积相容：假设同上，对 N 上的微分形式 \alpha 与 \beta，
:\varphi^(\alpha \wedge \beta)=\varphi^\alpha \wedge \varphi^*\beta\ .
- 和外导数 \operatorname{d}\! 相容：如果 \alpha 是 N 上一个微分形式，则
:\varphi^(\mathrm d\alpha) = \mathrm d(\varphi^\alpha)\ .
由微分同胚拉回
当流形之间的映射 \phi 是微分同胚，即有一个光滑逆函数，则在向量场上也像 1-形式一样定义拉回，从而通过扩张，对流形上任何混合张量场都可拉回。线性映射
:\Phi=\mathrm d\varphi_x\in GL(T_xM,T_{\varphi(x)}N)
可逆，给出
:\Phi^{-1}={\mathrm d\varphi_x}^{-1} \in GL(T_{\varphi(x)}N, T_xM).
一个一般的混合型张量场通过张量积分解为 TN 与 T^*N 两部分，分别用 \Phi 与 \Phi^{-1} 变换。当 M = N 时，则拉回和前推刻画了流形 M 上张量场的变换性质。用传统术语说，拉回描述了张量共变指标的变换性质；相对地，反变指标的变换性质由前推给出。
由自同构拉回
上一节的构造有一个代表性特例，若 \phi 是流形 M 到自己的微分同胚。在这种情况下，导数 \operatorname{d}\!\phi 是 GL(TM,\phi^TM) 的一个截面。这样便在通过一个一般线性群 GL(m) (m = \dim M) 相配于 M* 的标架丛 GL(M) 的任何丛的截面上导出了拉回作用。
拉回与李导数
将上述想法应用到由向量场 M 定义的微分同胚单参数群，对参数求导，得到了任意丛上的李导数概念。
联络（共变导数）
如果 \nabla 是 N 上向量丛 E 的联络（或共变导数），\phi 是从 M 到 N 的光滑映射，那么在 M 上的向量丛 \phi^E 上有拉回联络 \varphi^\nabla，由等式
:(\varphi^\nabla)_X(\varphi^s) = \varphi^*(\nabla_{\mathrm d\varphi(X)} s)
惟一确定。
另见
- 前推 (微分)
- 拉回丛
- 拉回 (范畴论)
参考文献
- Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See sections 1.5 and 1.6.
- Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.7 and 2.3.
- B. A. Dubrovin, et al., Modern Geometry Methods and Applications(Part I), (1999) Beijing World Publishing Corp., ISBN 7-5062-0123-2 See section 22.
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