有限应变理论（finite strain theory）也稱為大應變理論或大形變理論，是连续介质力学中處理有較大應變或轉動的形變，已不符合无限小应变理论假設下的理論。此情形下，物體在未形變的組態及已形變的組態有明顯的不同。有限应变理论常用於弹性体、塑性變形材料、流体及生物軟組織。
位移場
位移梯度張量
位移梯度張量（deformation gradient tensor）\mathbf F(\mathbf X,t) = F_{jK} \mathbf e_j \otimes \mathbf I_K和形變前的組態以及目前的組態有關，可以從單位向量\mathbf e_j和\mathbf I_K\,\!中看出，因此其為。
可以定義二種位移梯度張量。
假設\chi(\mathbf X,t)\,\!有連續性，則\mathbf F存在逆元素\mathbf H = \mathbf F^{-1}\,\!，其中\mathbf H為空間位移梯度張量（spatial deformation gradient tensor）。 根據隐函数定理，其雅可比判別式J(\mathbf X,t)是非奇點，也就是J(\mathbf X,t) = \det \mathbf F(\mathbf X,t) \neq 0。
物質位移梯度張量（material deformation gradient tensor）\mathbf F(\mathbf X,t) = F_{jK} \mathbf e_j\otimes\mathbf I_K表示映射函數或是泛函關係\chi(\mathbf X,t)\,\!梯度的二維張量（
映射函數或是泛函關係\chi(\mathbf X,t)\,\!描述連續介質的運動）。材料位移梯度張量可以說明位置向量為\mathbf X\,\!的物質點的局部形變（也就是相對鄰近點的形變），其作法是對一個點的物質線元素進行线性映射，從原始組態映射到形變後的組態，其中也是假設映射函數\chi(\mathbf X,t)\,\!的連續性，也就是其為 \mathbf {X} 和時間t\,\!的可微函数，也就是其形變不會讓crack或是void打開或是關閉。因此可得
\begin{align}
d\mathbf{x} &= \frac {\partial \mathbf{x}} {\partial \mathbf {X}}\,d\mathbf{X}
\qquad &\text{or}& \qquad
dx_j =\frac{\partial x_j}{\partial X_K}\,dX_K \\
&= \nabla \chi(\mathbf X,t) \,d\mathbf{X}
\qquad &\text{or}& \qquad
dx_j =F_{jK}\,dX_K \,. \\
& = \mathbf F(\mathbf X,t) \,d\mathbf{X}
\end{align}
相關條目
- 无限小应变理论
- 应变协调性
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參考資料
外部連結
*[http://www.imechanica.org/node/3786 Prof. Amit Acharya's notes on compatibility on iMechanica]
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