音乐同构

在数学中，特別是黎曼幾何跟微分流形的理論裡，音乐同构（ 或典范同构 ）是指（伪）黎曼流形 M 的切丛 TM 与余切丛 T^{}M 之间的同构，这个同构由黎曼度量给出。不過一般地，只要流形的切丛上有一个处处非退化的双线性形式（比如辛流形上的辛形式）便可定义这样的同构。在帶有內積（或更一般的，非退化的雙線性形式）的有限維向量空間 V，這些同構自然給出了 V 和其對偶空間 V^ 之間的同構，在這種情況一般稱這些映射為典範同構（canonical isomorphosm）。

這些運算在流形上的張量場理論裡也称为指标的上升和下降。

正式定义
黎曼流形 M 的黎曼度量 g=\sum_{ij}g_{ij}dx^i\otimes dx^j 是一个二階的对称、正定张量场 g \in \mathcal{T}_2^0(M)。在任意一点 x∈M，黎曼度量會誘導出一個映射 \widehat{g}_x
:\widehat{g}_x : T_x M \longrightarrow T^{*}_x M
這映射給了點 x的切空間跟餘切空间之间的一个线性同构，对任何切向量 Xx 属于 TxM，定義
:\widehat{g}_x(X_x) = \langle X_x,\cdot\rangle\in T^{*}_x M\ ,
其中符號 \langle\,,\rangle 代表 流形上的黎曼度量。这意味着，
: \widehat{g}_x(X_x)(Y_x) = \langle X_x,Y_x\rangle\ .

这些线性映射的集合定义了一个丛同构
:\widehat{g} : TM \longrightarrow T^{*}M\ ,
这是一个特别的微分同胚，在每个切空间上為線性映射。在截面的层次上即是切向量场到余切向量场的同构。在一个局部坐标 (U,x)下，设度量矩阵为 (g_{ij})，逆矩阵为 (g^{ij})，向量場X=\alpha^i\frac{\partial}{\partial x^i}　。则这个同构會將X映射到
:\widehat{g}:\alpha^i\frac{\partial}{\partial x^i} \mapsto \alpha^i g_{ij}d\,x^j \ .

这里使用了爱因斯坦求和约定。

以上同构称为降号音乐同构（）用符號^\flat表示，例如以上的函數\widehat{g}可表示成：(\sum_i\alpha^i\frac{\partial}{\partial x^i})^\flat=\sum_{ij}\alpha^i g_{ij}d\,x^j；而其逆運算称为升号（）用符號^\sharp表示：降号下降指标，升号上升指标，。升号用局部坐标表示为：
:\widehat{g}^{-1}:\xi=\alpha_i d\,x^i \mapsto \alpha_i g^{ij}\frac{\partial}{\partial x^j}\ .

这两个同构的核心是 g 为处处非退化的双线性形式，任何一个非退化的双线性形式都可给出类似的同构，对伪黎曼流形、辛流形也有类似的同构。在辛几何中，这个同构非常重要，哈密顿向量场便是由这个同构导出的。

名称由来
同构 \widehat{g} 与其逆 \widehat{g}^{-1} 称为“音乐同构”是因为是因为常常用兩種音樂符號 \flat,\sharp來代替這些同構，比如 \widehat{g}(X) 會寫成 X^\flat，\widehat{g}^{-1}(\omega) 會寫成 \omega^{\sharp}，它们將指标向下、向上移动。例如，流形上的向量場 \textstyle X=\sum_i X^i \frac{\partial}{\partial x^i} 經過 \flat 映射會變成餘向量場：
:(\sum_i X^i \frac{\partial}{\partial x^i})^\flat=\sum_{ij}g_{ij}X^i dx^j:=\sum_j X_j dx^j\ ,
這裡\flat將\sum_iX^i\frac{\partial}{\partial x^i}映射到\sum_j X_j dx^j，係數的指標從上到下，所以這運算用降號符號\flat表示。

而餘向量 \omega=\sum_i\omega_i dx^i，經過 \sharp 運算會變成向量
:(\sum_i \omega_i dx^i)^\sharp=\sum_{ij}g^{ij}\omega_i \frac{\partial}{\partial x^j}\ ,
所以指标向下、向上移动好似符号降号（\flat）与升号（\sharp）下降与上升一个半音的音高。

梯度、散度与旋度
音乐同构可以用来定义 \mathbb{R}^3 上无坐标形式的梯度、散度与旋度：
:
\begin{align}
\nabla f &= \left( {\mathbf d} f \right)^\sharp \\
\nabla \cdot F &= \star {\mathbf d} \star (F^\flat) \\
\nabla \times F &= \left[ \star {\mathbf d} (F^\flat) \right]^\sharp
\end{align}

这里 f,F 分別是 \mathbb{R}^3 裡的函數跟向量場，\star 是霍奇星号算子。不难验证这与通常坐标形式的定义是一致的。第一个等式对更一般的黎曼流形上的光滑函数也成立。而在辛流形上，第一个等式便定义了以 f 为哈密顿量的哈密顿向量场。

此外，值得指出的是可用音乐同构和霍奇星号算子把叉积与外积联系起来，设 v 与 w 是 \mathbb{R}^3 中向量场，容易证明

:
\mathbf{v}\times\mathbf{w} = \left[ \star \left( \mathbf{v}^\flat \wedge \mathbf{w}^\flat \right) \right]^\sharp.

参考文献

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