曲率形式

微分几何中，曲率形式（）描述了主丛上的联络的曲率。它可以看作是黎曼几何中的曲率张量的替代或是推广。

定义
令 G 为一个李群，记 G 的李代数为 g。设 E\to B 为一个主 G-丛。令 \omega 表示 E 上一个埃雷斯曼联络（它是一个E上的 g-值 1-形式）。

那么曲率形式就是 E 上的 g-值 2-形式，定义为

:\Omega=d\omega +{1\over 2}[\omega,\omega]=D\omega.

这里 d 表示标准外导数，[,] 是李括号，而 D 表示外共变导数。或者说

:\Omega(X,Y)=d\omega(X,Y) +[\omega(X),\omega(Y)].
向量丛上的曲率形式
若 E\to B 是一个纤维丛，其结构群为 G，我们可以在相伴的主 G-丛上重复同样的定义。

若 E\to B 是一个向量丛则我们可以把 \omega 看作是 1-形式的矩阵，则上面的公式取如下形式：

:\Omega=d\omega +\omega\wedge \omega,

其中 \wedge 是楔积。更准确地讲，若 \omega^i_j 和 \Omega^i_j 分别代表 \omega 和 \Omega 的分量（所以每个 \omega^i_j 是一个通常的 1-形式而每个 \Omega^i_j 是一个普通的2-形式），则

:\Omega^i_j=d\omega^i_j +\sum_k \omega^i_k\wedge\omega^k_j.

例如，黎曼流形的切丛，我们有 O(n) 作为结构群而 \Omega^{}_{} 是在 o(n) 中取值的 2-形式（给定标准正交基，可以视为反对称矩阵）。在这种情况，\Omega^{}_{} 是曲率张量的一种替换表述，也就是在曲率张量的标准表示中，我们有

:R(X,Y)Z=\Omega^{}_{}(X\wedge Y)Z.

上式使用了黎曼曲率张量标准记号。

比安基恒等式
如果 \theta 是标架丛上的典范向量值 1-形式，联络形式 ω 的挠率 \Theta 是由结构方程定义的向量值 2-形式：

:\Theta=d\theta + \omega\wedge\theta = D\theta,

这里 D 代表外共变导数。

第一比安基恒等式（对于标架丛的有挠率联络）取以下形式

:D\Theta=\Omega\wedge\theta={1\over 2}[\Omega,\theta]\ ,

第二比安基恒等式对于一般有联络的丛成立，并有如下形式

:D\Omega=0\ .

参看
*联络 (主丛)
*陈-西蒙斯形式（Chern-Simons form）
*黎曼流形的曲率
*规范场论

参考
*S.Kobayashi and K.Nomizu, "Foundations of Differential Geometry", Chapters 2 and 3, Vol.I, Wiley-Interscience.