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第二基本形式

Wikipedia · 2026-07-21 维基百科 👁 1 阅读

微分几何中，第二基本形式（）是三维欧几里得空间中一个光滑曲面的切丛上一个二次形式，通常记作 II。与第一基本形式一起，他们可定义曲面的外部不变量，主曲率。更一般地，若在黎曼流形中或洛伦兹流形中，的一个光滑超曲面上，选取了一个光滑单位法向量场，则可定义这样一个二形式。

\mathbf{R}^3中曲面
引论
\mathbf{R}^3中一个参数曲面S的第二基本形式由高斯引入。最先假设曲面是两次连续可微函数的像，z=f(x,y)，且平面z=0与曲面在原点相切。则f以及关于x和y的偏导数在(0,0)皆为零。从而f在(0,0)处的泰勒展开以二次项开始：

: z=f_{xx}\frac{x^2}{2} + f_{xy}xy + f_{yy}\frac{y^2}{2} +o(n) ，

记 L=f_{xx}, M=f_{xy}, N=f_{yy} , 则在(x,y)坐标中原点处的第二基本形式是二次型：

: L dx^2 + 2M dx dy + N dy^2. \,

对 参数曲面S上一个光滑点p，总可以选取坐标系使得坐标的 z-平面与S切于p，然后可以相同的方式定义第二基本形式。

经典记号
一个一般参数曲面的第二基本形式定义如下。设\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v) 是\mathbf{R}^3中一个正则参数曲面，这里\mathbf{r}是两个变量的光滑向量值函数。通常记\mathbf{r}关于u和v的偏导数为\mathbf{r}_u与\mathbf{r}_v。参数化的正则性意味着\mathbf{r}_u与\mathbf{r}_v对\mathbf{r}的定义域中任何(u,v)是线性无关的。等价地，叉积\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v是曲面的一个非零法向量。参数化这样就定义了一个单位法向量场\mathbf{n}(u,v)：

:\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v}.

第二基本形式通常写成

:\mathrm{II} = Ldu^2 + 2Mdudv + Ndv^2, \,

在基\{\mathbf{r}_u,\mathbf{r}_v\}下的矩阵是

: \begin{bmatrix}
L&M\\
M&N
\end{bmatrix}.

在参数化 uv-平面上一个给定点处系数L, M, N由\mathbf{r}在那个点的二次偏导数到S的法线上投影给出，利用点积可计算如下：

:L = \mathbf{r}_{uu} \cdot \mathbf{n}, \quad
M = \mathbf{r}_{uv} \cdot \mathbf{n}, \quad
N = \mathbf{r}_{vv} \cdot \mathbf{n}.

现代记法
一个通常曲面S的第二基本形式定义如下：设\mathbf{r}=\mathbf{r}(u^1, u^2)是\mathbf{R}^3中一个正则参数曲面，这里\mathbf{r}是两个变量的光滑向量值函数。通常记\mathbf{r}关于u^\alpha的偏导数为\mathbf{r}_\alpha，\alpha=1,2。参数化的正则性意味着\mathbf{r}_1与\mathbf{r}_2在\mathbf{r}的定义域上是线性无关的，从而在每一点张成\mathbf{S}的切空间。等价地，叉积\mathbf{r}_1 \times \mathbf{r}_2 是曲面的一个非零法向量。这样参数化定义了一个单位法向量场\mathbf{n}：

:\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2}

第二基本形式通常写作

:\mathrm{II} = b_{\alpha\beta} du^{\alpha} du^{\beta}

上式使用了爱因斯坦求和约定。

在参数(u^1, u^2)-曲面给定点处系数b_{\alpha\beta}由\mathbf{r}的二次偏导数到S的法线的投影给出，利用点积可写成：

:b_{\alpha\beta} = \mathbf{r}_{\alpha\beta} \cdot \mathbf{n}

黎曼流形中的超曲面
在欧几里得空间中，第二基本形式由

:I\!I(v,w) = \langle d\nu(v),w\rangle

给出，这里 \nu 是高斯映射，而 d\nu 是 \nu 的微分视为一个向量值微分形式，括号表示欧几里得空间的度量张量。

更一般地，在一个黎曼流形上，第二基本形式是描述一个超曲面形算子（记作S）的等价方法，

:\mathrm I\!\mathrm I(v,w)=\langle S(v),w\rangle= -\langle \nabla_v n,w\rangle=\langle n,\nabla_v w\rangle,

这里 \nabla_v w 表示周围空间的共变导数，n超曲面上一个法向量场。如果仿射联络是无挠的，则第二基本形式是对称的。

第二基本形式的符号取决于n的方向的选取。（这称为曲面的余定向，对欧几里得空间中的曲面，等价于给定曲面的一个定向）。

推广为任意餘维数
第二基本形式可以推广到任意餘維數。在这种情形下，它是切空间上取值于法丛的一个二次型，可以定义为

:\mathrm{I}\!\mathrm{I}(v,w)=(\nabla_v w)^\bot,

这里 (\nabla_v w)^\bot 表示共变导数 \nabla_v w 到法丛的正交投影。

在欧几里得空间中，子流形的曲率张量可以描述为下列公式：

:\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle.

这叫做高斯方程，可以视为高斯绝妙定理的推广。在一个标准正交基中第二基本形式的本征值，是曲面的主曲率。一组正交规范本征向量称为主方向。

对一般的黎曼流形必须添加周围空间的曲率；如果N是嵌入黎曼流形(M,g)中一个流形，则N在诱导度量下的曲率张量 R_N 可以用第二基本形式与M的曲率张量 R_M 表示出来：

:\langle R_N(u,v)w,z\rangle = \langle R_M(u,v)w,z\rangle+\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle.

相关条目
*第一基本形式
*高斯曲率
*高斯-科达齐方程

参考文献
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外部链接

#微分几何 #黎曼几何 #曲率 #曲面的微分几何

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