弗莱纳公式

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在向量微积分中，弗勒内-塞雷公式（Frenet–Serret 公式）用来描述欧几里得空间R3中的粒子在连续可微曲线上的运动。更具体的说，弗勒内公式描述了曲线的切向，法向，副法方向之间的关系。这一公式由法国数学家让·弗雷德里克·弗勒内（于1847年的博士论文中）和约瑟夫·阿尔弗雷德·塞雷（于1851年）分别提出。

单位切向量 T，单位法向量 N，单位副法向量 B，被称作 弗勒内标架，他们的具体定义如下：

T 是单位切向量，方向指向粒子运动的方向。
N 是切向量 T 对弧长参数的微分单位化得到的向量。
B 是 T 和 N 的外积。

弗勒内公式如下：
:
\begin{aligned}
\dfrac{d\mathbf{T}}{ds} &= \kappa\mathbf{N}, \\
\dfrac{d\mathbf{N}}{ds} &= -\kappa\mathbf{T}+\tau\mathbf{B},\\
\dfrac{d\mathbf{B}}{ds} &= -\tau\mathbf{N},
\end{aligned}

其中d/ds 是对弧长的微分， κ 为曲线的曲率，τ 为曲线的挠率。弗勒内公式描述了空间曲线曲率挠率的变化规律。

弗勒内公式
记r(t) 为欧式空间R3中的曲线，表示粒子在时间 t 时刻的位置向量。弗勒内公式只适用于正则曲线，即速度向量r′(t)和加速度向量r′′(t)不为零的曲线。

记 s(t) 为 t时刻粒子所在位置到曲线上某定点的弧长：
:s(t)=\int_0^t \|\mathbf{r}'(\tau)\|d\tau.
由于假设r′ ≠ 0，因此可以将 t 表示为 s 的函数，因此可将曲线表示为弧长 s 的函数 r(s) = r(t(s))。 s 通常也被称为曲线的弧长参数。

对于由弧长参数定义的正则曲线 r(s)，弗勒内标架 (或弗勒内基底)定义如下：

单位切向量 T：

:: \mathbf{T} = {d\mathbf{r} \over ds}. \qquad \qquad (1)

主法向量 N：

:: \mathbf{N} = {\frac{d\mathbf{T}}{ds} \over \left\| \frac{d\mathbf{T}}{ds} \right\|}. \qquad \qquad (2)

副法向量 B 定义为 T 和 N 的外积：

:: \mathbf{B} = \mathbf{T} \times \mathbf{N}. \qquad \qquad (3)

上弗勒内标架的运动。蓝色的箭头表示切向量，红色的箭头表示法向量，黑色的箭头表示副法向量。]]

由于 |\mathbf{T}|=1, \frac{d(\mathbf{T}\cdot \mathbf{T})}{ds} =2\mathbf{T}\cdot\mathbf{N} =0, 所以 N 与 T 垂直。方程 (3) 说明 B 垂直于 T 和 N，因此向量 T，N，B 互相垂直。

弗勒内公式如下：
:

\begin{matrix}
\frac{d\mathbf{T}}{ds} &=& & \kappa \mathbf{N} & \\
&&&&\\
\frac{d\mathbf{N}}{ds} &=& - \kappa \mathbf{T} & &+\, \tau \mathbf{B}\\
&&&&\\
\frac{d\mathbf{B}}{ds} &=& & -\tau \mathbf{N} &
\end{matrix}

其中 κ 为曲线的曲率，τ 为曲线的挠率。

弗勒内公式有时也被称作弗勒内定理，并且可以写做矩阵的形式：
: \begin{bmatrix} \mathbf{T'} \\ \mathbf{N'} \\ \mathbf{B'} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{T} \\ \mathbf{N} \\ \mathbf{B} \end{bmatrix}.

其中的矩阵是反对称矩阵。

对弧长s求导，可以看成是对切方向的协变导数。

参阅
*曲线仿射几何
*曲线微分几何
*达布标架
*运动学

注释
参考资料
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. Abstract in J. de Math. '17*, 1852.
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外部链接
*[https://web.archive.org/web/20041015020304/http://www.mathcs.sjsu.edu/faculty/rucker/kaptaudoc/ktpaper.htm Rudy Rucker's KappaTau Paper].
*[https://web.archive.org/web/20060902172112/https://math.byu.edu/~math302/content/learningmod/trihedron/trihedron.html Very nice visual representation for the trihedron]

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