茶年 · 中文维基百科

黎曼曲率張量

Wikipedia · 2026-07-07 维基百科 👁 1 阅读

在微分几何中，黎曼曲率张量（）或黎曼張量是表达黎曼流形的曲率的标准方式，更普遍的，它可以表示有仿射联络的流形的曲率，包括无扭率或有撓率的。曲率张量通过列维-奇维塔联络(更一般的，一个仿射联络)\nabla(或者叫协变导数)由下式给出:

:R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w -\nabla_{[u,v]} w .

这里R(u,v)是一个流形切空间的线性变换；它对于每个参数都是线性的。

注意有些作者用相反的符号定义曲率.

如果u=\frac{\partial}{\partial x_i} 与 v=\frac{\partial}{\partial x_i} 是坐标向量场则[u,v]=0所以公式简化为

:R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w

也就是说曲率张量衡量协变导数的反交换性。

线性变换w\mapsto R(u,v)w也称曲率变换。

對稱性和恆等式
进一步,由上式定义了如下的三重线性映射

  • R:(w,u,v)\rightarrow R(u,v)w,

映射R关于每一个自变量都是C^\infty线性的, 故 R 是M上的(1,3)型光滑张量场, 称之为仿射联络空间(M,\nabla)的曲率张量.
在坐标向量场下， R 可以表示为

  • R=R_{kij}^l dx^k\otimes\frac{\partial}{\partial x^l}\otimes dx^i \otimes dx^j .

还可以定义四重线性映射，如下

  • R:(w,z,u,v)\rightarrow g(R(u,v)w,z),

则映射 R关于每一个自变量都是C^\infty 线性的, 故 R 是黎曼流形 (M,g) 上的 (0,4) 型光滑张量场, 称之为黎曼流形 (M,g) 的黎曼曲率张量. 在坐标向量场下, R 可以表示为

  • R=R_{klij} dx^k\otimes dx^l\otimes dx^i \otimes dx^j .

*注：上述纺射联络空间 (M,\nabla)上的曲率张量 R 与黎曼流形 (M,g) 上的黎曼曲率张量 R 是同一个对象的不同表现形式.
*注 R_{klij}=g_{lm}R_{kij}^m.

黎曼曲率张量有如下的对称性:

  • R(u,v)=-R(v,u)^{}_{}
  • \langle R(u,v)w,z \rangle=-\langle R(u,v)z,w \rangle^{}_{}
  • R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0 ^{}_{}

最后一个恒等式由里奇发现,但是称为第一比安基恒等式(First Bianchi identity)或代数比安基恒等式(Algebraic Bianchi identity)，因为和下面的比安基恒等式相像。

这三个恒等式组成曲率张量对称性的完整列表，也就是给定说任何满足上述恒等式的张量，可以找到一个黎曼流形在某点的曲率张量和它一样。简单的计算表明这样一个张量有\frac{n^2(n^2-1)}{12}个独立分量。

另一个有用的恒等式可以由上面这些导出:
:\langle R(u,v)w,z \rangle=\langle R(w,z)u,v \rangle^{}_{}

比安基恒等式(Bianchi identity)，经常也叫第二比安基恒等式(Second Bianchi identity)或微分比安基恒等式(Differential Bianchi identity)。它涉及到协变导数:
:\nabla_uR(v,w)+\nabla_vR(w,u)+\nabla_w R(u,v) = 0

给定流形某点的任一坐标表示，上述恒等式可以用黎曼曲率张量的分量形式表示为:

  • R_{abcd}=-R_{bacd} \,
  • R_{abcd}=R_{cdab} \,
  • 第一（代數）比安基恒等式：R_{abcd} + R_{adbc} + R_{acdb} =0 \,或等價地寫為R_{a[bcd]}=0 \,
  • 第二（微分）比安基恒等式：\nabla_e R_{abcd} + \nabla_d R_{abec} + \nabla_c R_{abde} =0 \,或等價地寫為R_{ab[cd;e]}=0 \,

其中方括号表示对下标的反對稱化，分号表示协变导数。这些恒等式在物理中有应用，特别是广义相对论。

相關條目
*截面曲率
*曲率形式

外部連結

#黎曼几何 #曲率 #关于圆的定理 #廣義相對論所用張量

评论 (0)

  • 还没有评论，来抢沙发吧。