在微分几何中，一个曲面 S 的平均曲率（）H，是一个“外在的”弯曲测量标准，局部地描述了一个曲面嵌入周围空间（比如二维曲面嵌入三维欧几里得空间）的曲率。
这个概念由索菲·热尔曼在她的著作《弹性理论》中最先引入。
定义
令 p 是曲面 S 上一点，考虑 S 上过 p 的所有曲线 C_i 。每条这样的 C_i 在 p 点有一个伴随的曲率 K_i。在这些曲率 K_i 中，至少有一个极大值 \kappa_1 与极小值 \kappa_2，这两个曲率 \kappa_1,\kappa_2 称为 S 的主曲率。
p\in S 的平均曲率是两个主曲率的平均值，由欧拉公式其实也是所有曲率的平均值，故有此名。
:H = {1 \over 2} (\kappa_1 + \kappa_2)\ .
利用第一基本形式与第二基本形式的系数，平均曲率表示为：
:H =\frac{LG-2MF+NE}{2(EG-F^2)}\ ,
这里 E, F, G 是第一基本形式的系数，L, M, N 为第二基本形式的系数。
平均曲率可推广为更一般情形 ，一个超曲面 T 的平均曲率为：
:H=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \kappa_{i}\ .
更抽象地说，平均曲率是第二基本形式（或等价地，形算子）的迹 \times\frac{1}{n}。
另外，平均曲率 H 可以用共变导数 \nabla 写成
:H\vec{n} = g^{ij}\nabla_i\nabla_j X\ ,
这里利用了高斯-Weingarten 关系， X(x,t) 是一族光滑嵌入超曲面，\vec{n} 为单位法向量，而 g_{ij} 是度量张量。
一个曲面是极小曲面当且仅当平均曲率为零。此外，平面 S 平均曲率满足一个热型方程称为平均曲率流方程。
有些作者會將平均曲率直接定為第二基本形式的迹（而並未\times\frac{1}{n}）。然而，這並不影響一個曲面是否成為一個極小曲面的條件。
3 维空间中曲面
对 3 维空间中的曲面，平均曲率与曲面的单位法向量相关：
:2 H = \nabla \cdot \hat n\ ,
这里法向量的选取影响曲率的正负号。曲率的符号取决于法向量的方向：如果曲面“远离”法向量则曲率是正的。上面的公式对 3 维空间中任何方式定义的曲面都成立，只要能够计算单位法向量的散度。
对曲面是两个坐标的函数定义的曲面，比如 z = S(x, y)，使用向下的法向量平均曲率（的两倍）表示为
:\begin{align}2 H & = \nabla \cdot \left[\frac{\nabla(S - z)}\right] \\
& = \nabla \cdot \left[\frac{\nabla S}{\sqrt{1 + (\nabla S)^2}}\right] \\
& =
\frac{
\left[1 + \left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^2\right] \frac{\partial^2 S}{\partial y^2} -
2 \frac{\partial S}{\partial x} \frac{\partial S}{\partial y} \frac{\partial^2 S}{\partial x \partial y} +
\left[1 + \left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^2\right] \frac{\partial^2 S}{\partial x^2}
}{\left[1 + \left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}.
\end{align}
如果曲面还是轴对称的，满足 z = S(r)，则
:2 H = \frac{\frac{\partial^2 S}{\partial r^2}}{\left[1 + \left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}} + \frac{\frac{\partial S}{\partial r}}{r \left[1 + \left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)^2\right]^{\frac{1}{2}}}\
流体力学
在流体力学中使用的另外一种定义是不要因子 2：
:H_f = (\kappa_1 + \kappa_2)\ .
这出现于楊-拉普拉斯公式中，平衡球状小滴内部的压力等于表面张力乘以 H_f；两个曲率等于小滴半径的倒数 \kappa_1 = \kappa_2 = r^{-1}。
极小曲面
一个极小曲面是所有点的平均曲率为零的曲面。经典例子有悬链曲面、螺旋面、Scherk 曲面与Enneper 曲面。新近发现的包括（1982年）与（1970年）。
极小曲面的一个推广是考虑平均曲率为非零常数的曲面，球面和圆柱面就是这样的例子。Heinz Hopf的一个问题为是否存在曲率为非零常数的非球面闭曲面。球面是惟一具有常平均曲率且没有边界或奇点的曲面；如果允许自交，则存在平均曲率为非零常数的闭曲面，Wente在1986年曾构造出这样的自交环面。
参见
- 高斯曲率
- 平均曲率流
- 逆平均曲率流
- 面积公式第一变分
注释
参考文献
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