在黎曼几何中，截面曲率是描述黎曼流形的曲率的一种方式。截面曲率K(\sigma_p) 依赖于p点的切空间裡的一个二维平面 \sigma_p 。它就定义为该截面，考慮在 p 点以平面 \sigma_p 作为切平面的曲面 S_p，這曲面是收集流形中某包含 p 的鄰域內從 p 点出發的測地線且這測地線在 p 點的切向量屬於截面 \sigma_p （換句話說就是 S_p=\exp_p U 其中 U\subseteq \sigma_p 是 \sigma_p 里包含原點的鄰域），而截面曲率 K(\sigma_p) 就是曲面 S_p 在 p 點的高斯曲率。形式上，截面曲率是流形上的2维格拉斯曼纤维丛的光滑实值函数。
截面曲率完全决定了曲率张量，是非常有用的几何概念。
定义
设M为黎曼流形，\sigma为M上 p 点处切空间中的二维平面，u和v为\sigma中两个线性无关的向量。
则关于\sigma的截面曲率定义为
:K(\sigma)={\langle R(u,v)v,u\rangle\over |u|^2 |v|^2-\langle u,v\rangle^2}
其中R是M的黎曼曲率张量。
常截面曲率流形
常截面曲率的黎曼流形是最简单的类型。它们称为空间形式。通过缩放度量，它们有三种情况
*负曲率−1， 双曲几何
*零曲率，欧几里得几何
*正曲率+1，椭圆几何
三类几何的模型流形分别是双曲空间，欧几里得空间和单位球面。它们是对于这些给定的截面曲率唯一可能的完备单连通黎曼流形，所有其它常曲率流形是它们在某个等距映射群下的商。
性质
完备黎曼空间有非负的截面曲率，当且仅当函数f_p(x)=dist^2(p,x)对于所有点p*是一个1-凹函数。
*一个完备单连通黎曼流形有非正截面曲率，当且仅当函数f_p(x)=dist^2(p,x)是1-凸函数。
参看
*黎曼曲率张量
*黎曼流形的曲率
*曲率
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