测地曲率：设P是曲線（C）上一点，\alpha是（C）在P点的单位切向量，\beta是主法向量，\gamma是副法向量。再设n是曲面S在P点的单位法向量。命\varepsilon = n \times \alpha。
曲线（C）在P点的曲率向量\ddot{r}=k\beta在\varepsilon上的投影（也就是在S上P点的切平面上的投影）
k_{g}=\ddot{r}\cdot\varepsilon
称为曲线（C）在P点的测地曲率。
相关命题
*曲面S上的曲线（C），它在P点的测地曲率的绝对值等于（C）在P点的切平面上的正投影曲线（C'）的曲率。
*k^{2}=k_{g}^{2}+k_{n}^{2}
式中，k为曲线在P点的曲率，k_{n}为曲线在P点的法曲率。
二維曲面常用的測地曲率公式
今有一緊緻定向的二維曲面S，其線元素可用曲面的第一基本形式的係數表示為：ds^2 = Edu^2+2Fdudv+Gdv^2 \,，則其度量張量可表成下列關係式：
(g_{ij}) = \begin{pmatrix}g_{11} & g_{12} \\g_{21} & g_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}E&F\\F&G\\\end{pmatrix}
每當進行涉及到微分幾何的實用演算時，都會用到其分量形式以利細部計算，因此有必要將前述向量形式定義的測地曲率以其分量形式來表徵，以下將界定在二維曲面上局部範圍，有關公式及其推導過程，可於列出的相關參考文獻中找到。
二維曲面測地曲率之Beltrami公式
令C為曲面S上的一正則曲線，在此曲線上以其弧長s為參數，則曲線C的參數方程式為 C: r(s)=(u(s),v(s))，則它在P點的測地曲率k_g可表為下列克氏符號（全稱克里斯多福符號，Christoffel symbols）相關的表示式
：
k_{g} = \sqrt{EG-F^2}\left[\Gamma^2_{11}\left(\frac{du}{ds}\right)^3 +
\left(2\Gamma^2_{12} - \Gamma^1_{11}\right)\left(\frac{du}{ds}\right)^2\frac{dv}{ds} +
\left(\Gamma^2_{22} - 2\Gamma^1_{12}\right)\frac{du}{ds}\left(\frac{dv}{ds}\right)^2
- \Gamma^1_{22} \left(\frac{dv}{ds}\right)^3 + \frac{du}{ds}\frac{d^2v}{ds^2} - \frac{d^2u}{ds^2}\frac{dv}{ds}
\right]
上述用克式符號表示測地曲率的一般公式即是所謂的Beltrami公式(Beltrami's formula for geodesic curvature.)。這裡所用的克氏符號 在有些書籍還會沿用舊式的 {{math|{}}}符號注記。由於克式符號屬曲面的內蘊性質，而上述測地曲率一般公式只和克式符號與曲面第一基本形式有關，因此，測地曲率必然是屬曲面的內蘊幾何量。
今若曲線C是沿著u=(s)座標線的話，此時v=常數，使得dv/ds=0以及du/ds=1/\sqrt{g_{11}}，那麼其測地曲率可算得為：
(k_g)_{u-line}= \Gamma^2_{11}\dfrac{\sqrt{EG-F^2}}{E\sqrt{E}}= \Gamma^2_{11}\left(\dfrac{g^{1/2}}{g^{3/2}_{11}}\right)
同理，假如曲線C是沿著v=(s)座標線的話，使得u=常數，因此du/ds=0以及dv/ds=1/\sqrt{g_{22}}，那麼其測地曲率可化簡為：
(k_g)_{v-line}= -\Gamma^1_{22}\dfrac{\sqrt{EG-F^2}}{G\sqrt{G}}=-\Gamma^1_{22}\left(\dfrac{g^{1/2}}{g^{3/2}_{22}}\right)
二維曲面測地曲率之Liouville公式
令C為曲面S上的一正則曲線，在此曲線上以其弧長s為參數，則曲線C的參數方程式為 C: r(s)=(u(s),v(s))，今其參數化是採正交座標系，換言之，第一基本形式的係數F=0，又令曲線C在P點與u座標線的夾角為\theta，則它在P點的測地曲率k_g可表為下列與\theta (s)夾角相關的Liouville公式
：
\begin{align}
k_g&=\dfrac{d\theta (s)}{ds}-\dfrac{1}{2\sqrt{G}}\dfrac{\partial \ln E}{\partial v}\cos \theta+\dfrac{1}{2\sqrt{E}}\dfrac{\partial \ln G}{\partial u}\sin \theta \\
&=\dfrac{d\theta (s)}{ds}+(k_g)_{u-line}\cos \theta +(k_g)_{v-line}\sin \theta \\
&=\dfrac{d\theta (s)}{ds}+(k_g)_{u-line}\sqrt{E}\dfrac{du}{ds}+(k_g)_{v-line}\sqrt{G}\dfrac{dv}{ds}
\end{align}
上述公式中的(k_g)_{u-line}與(k_g)_{v-line}乃分屬於兩個座標線對應的測地曲率，至於它們的具體表徵是什麼，接下來將分別推導出其詳細內容。首先，考量如若曲線C是沿著u=(s)座標線的話，此時v=常數，則有dv/ds=0以及du/ds=1/\sqrt{E}，那麼該測地曲率可算得為：
(k_g)_{u-line}= -\dfrac{E_v}{2E\sqrt{G}}
同理，假如曲線C是沿著v=(s)座標線的話，此時u=常數，導致du/ds=0以及dv/ds=1/\sqrt{G}，那麼此測地曲率可算得為：
(k_g)_{v-line}= \dfrac{G_u}{2G\sqrt{E}}
以上測地曲率之Liouville公式就已列出有三種，若覺得怎麼會有這麼多樣形式，其實還有其他變形，例如可參考網路上更加精簡且優美的形式，這端賴解析問題時，需要配套什麼形式的公式而定。
參考文獻
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