极小曲面
]] 极小曲面（）最初得名於尋找最小面積曲面的問題，而在現代数学中，則指平均曲率为零的曲面；這個定義意味著微小變動下，曲面面積的一階變分為零。在這個定義下，滿足某些約束條件下具有最小面積的曲面都是極小曲面。在物理学中的一個实例是將閉合線框沾入肥皂液拿出後，附著其上的肥皂泡。 例子 极小曲面的经典例子包括： 欧几里得平面，无特别约束条件下最平常的极小曲面； 悬链曲面：由悬链线围绕其水平准线旋转而得到的曲面。这是最早发现的“不寻常”的极小曲…
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普拉托问题
普拉托问题（）是数学中与极小曲面有关的一类问题，旨在研究在边界固定时极小表面的存在性。此问题最早由18世纪的法国数学家拉格朗日在1760年提出。而之后比利时人约瑟夫·普拉托在19世纪进行了大量关于皂液膜（肥皂泡）的实验，并总结出了一些与极小曲面以及此问题有关的定律（普拉托定律）。普拉托问题是变分法研究的一个分支。普拉托问题中的极小曲面的存在性以及其正则性（是否可微，是否光滑等等）是几何测度理论的研究对象。 数学家们首先从解决普拉托问题的…
恩内佩尔曲面
恩内佩尔曲面（）是一种极小曲面，由德国数学家于1864年提出。恩内佩尔曲面的参数方程为 : x = u(1 - u^2/3 + v^2)/3,\ : y = -v(1 - v^2/3 + u^2)/3,\ : z = (u^2 - v^2)/3.\ 在魏尔斯特拉斯－恩内佩尔（Weierstrass–Enneper）表示中，令f(z)=1, g(z)=z，便能得到恩内佩尔曲面。 参考文献
皂膜
皂膜（Soap films）是由液體（多半是水基液體，例如肥皂液）在空氣中形成的薄膜。例如兩個肥皂泡接觸時，兩個肥皂泡會融合成一個，而在中間形成薄膜。泡沫就是由許多皂膜，依普拉托定律連接成的網路。皂膜有兩層表面，由於表面張力，皂膜會使表面面積最小。皂膜可以用來成為極小曲面的模型，常用在數學中。 穩定性 。箭頭表示力的方向]] 從日常經驗可以看出，在水或是純液體中不太容易讓泡沫持續存在。而肥皂的成份有表面活性剂分子，可以穩定肥皂泡。表面活…
肥皂泡
肥皂泡是肥皂产生的一种非常薄的虹彩的表面膜。肥皂泡的存在時間通常很短，它们會因触碰其它物体或維持於空氣中太久而破裂（地心吸力令肥皂泡上方的膜變薄）。肥皂泡还可能帮助解决空间的复杂的数学问题，因为他们总是会找到点或者边之间的最小表面。 物理 表面张力和形状 於18世纪所畫。]] 肥皂泡的存在是因为液体（通常是水）的表面层有一种特定的表面张力，它导致该层的行为像弹性膜。一个常见误解是以为肥皂增加了水的表面张力。实际上肥皂做了相反的事情，它将…
魏尔斯特拉斯-恩内佩尔曲面
在微分几何中，魏尔斯特拉斯-恩内佩尔参数化（WE曲面、魏恩曲面、Weierstrauss-Enneper surfaces）是二维极小曲面的参数化。 它以恩内佩尔（Enneper）和魏尔斯特拉斯的名字命名。他们在1863年发现了这个参数化。 的魏恩曲面]] 设 f 是解析函数、g 是亚纯函数、fg2 是 全纯函数、c1, c2, c3 是常数。若(x1,x2,x3)是曲面M的坐标以及 \begin{align} x_k(\zeta) &…
普拉托定律
普拉托定律是有关皂液膜的一个经验定律，由19世纪比利时物理学家约瑟夫·普拉托在大量的实验观测之基础上总结而出。普拉托定律一共包括如下四条经验定律： #皂液膜由完全光滑的表面组成。 #皂液膜的任一部分的平均曲率在同一片膜上的每一点上都是常数。 #皂液膜表面的交界一定是由三个表面相接构成的曲线，称为“普拉托边界”，交界处两两表面形成的平面交角都是 cos−1(−1/2) = 120 度。 #普拉托边界之间相交一定是由四条边界相交构成一个交点…
螺旋曲面
螺旋曲面可視為一個線段沿著垂直於其中點的直線，勻速螺旋上升時掃過的曲面，可視為是螺旋線的立體版本，是在平面及懸鏈曲面後，第三個已知的极小曲面。 描述 螺旋曲面曾在1774年及1776年分別由萊昂哈德·歐拉及Jean Baptiste Meusnier描述過，其英文Helicoid可以看出它和螺旋線（helix）之間的相關性：針對螺旋曲面上的每一點，都存在一個通過該點的螺旋線，且整條螺旋線都落在螺旋曲面上。若仔細的觀察螺旋曲面，且螺旋曲面…