极小曲面

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极小曲面（）最初得名於尋找最小面積曲面的問題，而在現代数学中，則指平均曲率为零的曲面；這個定義意味著微小變動下，曲面面積的一階變分為零。在這個定義下，滿足某些約束條件下具有最小面積的曲面都是極小曲面。在物理学中的一個实例是將閉合線框沾入肥皂液拿出後，附著其上的肥皂泡。

例子
极小曲面的经典例子包括：

• 欧几里得平面，无特别约束条件下最平常的极小曲面；
• 悬链曲面：由悬链线围绕其水平准线旋转而得到的曲面。这是最早发现的“不寻常”的极小曲面。悬链曲面状的皂液膜可以由将两个等大的圆环紧贴放入肥皂水中，拿出后再缓慢分开得到；
• 螺旋曲面：一个线段沿着垂直于其中点的直线匀速螺旋上升时扫过的曲面。这是继悬链曲面后发现的第二种不寻常的极小曲面；
• 恩内佩尔曲面。

定义
给定一个嵌入曲面，或更一般的，一个浸入曲面（其边界一般固定，但不一定有界），定义其平均曲率如下：
:令 p 是曲面 S 上一点，考虑 S 上过 p 的所有曲线 C_i 。每条这样的 C_i 在p 点有一个伴随的曲率 K_i。在这些曲率 K_i 中，至少有一个极大值 \kappa_1 与极小值\kappa_2，这两个曲率 \kappa_1,\kappa_2 称为 S 的主曲率。
:p\in S 的平均曲率是两个主曲率的平均值，由欧拉公式其实也是所有曲率的平均值，故有此名。
::H = {1 \over 2} (\kappa_1 + \kappa_2)\ .

而极小曲面是指每一点上的平均曲率都是0的曲面。这种曲面的研究始于有关满足一定的约束条件（比如边界固定或容纳体积满足一定条件）下表面积最小的曲面，因此被称为“极小曲面”。实际上极小曲面所囊括的内涵比此类最小面积曲面更广泛。极小曲面的定义还可以扩展到恒定平均曲率曲面，即曲面上由平均曲率等于某个常数的点组成的子曲面。当这个常数等于零的时候， 恒定平均曲率曲面就是极小曲面。
极小曲面是平均曲率流的临界点。

与布朗过程的联系
极小曲面上的布朗过程可以用于某些极小曲面相关定理的概率证明。

注释
参见

• 伯恩施坦問題
• 肥皂泡
• 普拉托问题
• 伸展网格方法
• 曲率
• 韋爾—費倫結構
• 张力结构
• 魏尔斯特拉斯-恩内佩尔参数化
• 双线性插值

参考来源
文内引用
补充来源
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• （图示介绍极小曲面与皂液膜）
• （在线期刊，发表有若干极小曲率模型）

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外部链接

• [https://3d-xplormath.org/j/index.html 3D-XplorMath-J 主页 - 基于 Java 应用程序的互动可视数学模型]
• [http://xahlee.org/surface/gallery_m.html 可转动极小曲面模型]