包絡線（Envelope）是幾何學裡的概念，代表一條曲線與某個曲線族中的每條線都有至少一點相切。（曲線族即一些曲線的無窮集，它們有一些特定的關係。）
設一個曲線族的每條曲線C_s可表示為t \mapsto (x(s,t),y(s,t))，其中s是曲線族的參數，t是特定曲線的參數。若包絡線存在，它是由s \mapsto ( x(s,h(s)), y(s,h(s)) )得出，其中h(s)以以下的方程求得：
: \frac{\partial y}{\partial h} \frac{\partial x}{\partial s} = \frac{\partial y}{\partial s} \frac{\partial x}{\partial h}
若曲線族以隱函數形式 F(x,y,s)=0 表示，其包絡線的隱方程，便是求下面兩個方程的解x和y之隱函數關係。
: \begin{cases} F(x,y,s)=0\\ \frac{\partial F(x,y,s)}{\partial s} =0\end{cases}
繡曲線是包絡線的例子。直線族(A-s) x + s y = (A-s)(s)（其中A是常數，s是直線族的變數）的包絡線為拋物線。
證明
設曲線族的每條曲線C_s為t \mapsto (x(s,t),y(s,t))。
設存在包絡線。由於包絡線的每點都與曲線族的其中一條曲線的其中一點相切，對於任意的s，設( x(s,h(s)), y(s,h(s)) )表示C_s和包絡線相切的那點。由此式可見，s是包絡線的變數。要求出包絡線，就即要求出h(s)。
在C_s的切向量為，其中t=h(s)。
在E的切向量為。因為x是s和t的函數，而此處t=h(s)，局部求導有：
: \frac{dx}{ds} = \frac{\partial x}{\partial h} \frac{dh}{ds} + \frac{\partial x}{\partial s} \frac{ds}{ds} = \frac{\partial x}{\partial h} h'(s) + \frac{\partial x}{\partial s}
類似地得 \frac{dy}{ds} = \frac{\partial y}{\partial h} h'(s) + \frac{\partial y}{\partial s}。
因為E和C_s在該點相切，因此其切向量應平行，故有
: \frac{\partial x}{\partial t} = \lambda ( \frac{\partial x}{\partial h} h'(s) + \frac{\partial x}{\partial s} )
: \frac{\partial y}{\partial t} = \lambda ( \frac{\partial y}{\partial h} h'(s) + \frac{\partial y}{\partial s} )
其中\lambda \ne 0。可用此兩式消去h'(s)。整理後得：
\frac{\partial y}{\partial h} \frac{\partial x}{\partial s} = \frac{\partial y}{\partial s} \frac{\partial x}{\partial h}
參考
參見
*克萊羅方程
外部連結
- [http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Envelope_dir/envelope.html Special Plane Curves: Envelope]
- [http://jwilson.coe.uga.edu/Texts.Folder/Envel/envelopes.html Envelopes of Lines and Circles]
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