在数学物理学中，伪黎曼流形 也称为半黎曼流形，是一种可微流形，其度量张量处处非退化。这是黎曼流形的推广，其中放宽了正定性的要求。
伪黎曼流形的每个切空间都是伪欧几里得向量空间。
广义相对论中使用的一个特例是用于建模时空的四维洛伦兹流形，其中切向量可分为类时间、零和类空间。
介绍
流形
在微分几何中，可微流形是局部类似于欧氏空间的空间。在n维欧几里得空间中，任何一点都可以用n 个实数指定。这些被称为点的坐标。
n维可微流形是n维欧氏空间的概括。在流形中可能只能局部定义坐标。这是通过定义坐标补丁来实现的：可以映射到n维欧几里得空间的流形子集。
有关更多详细信息，请参阅流形、可微流形、坐标补丁。
切空间和度量张量
与每个点相关p在一个n维可微流形M是一个切空间（表示为T_pM ）。这是一个n维向量空间，其元素可以被认为是通过点的曲线的等价类p 。
度量张量是一种非退化、光滑、对称、双线性映射，它为流形的每个切空间中的切向量对分配一个实数。将度量张量表示为g我们可以将其表达为
: g : T_pM \times T_pM \to \mathbb{R}.
该映射是对称且双线性的，因此如果X,Y,Z \in T_pM是某一点的切向量p到流形M那么对于任何实数a\in\mathbb{R} , 我们有
- \,g(X,Y) = g(Y,X)
- \,g(aX + Y, Z) = a g(X,Z) + g(Y,Z)
这是非退化的，意味着不存在对所有Y \in T_pM都适用的非零X \in T_pMg(X,Y) = 0
度规符号
给定n维实流形上的度量张量g ，与该度量张量相关的二次型应用于任何正交基的每个向量都会产生n 个实值。根据西尔维斯特惯性定律，以这种方式产生的正值、负值和零值的数量都是度量张量的不变量，与正交基的选择无关。度量张量的度规符号给出了这些数字，以相同的顺序显示。非退化度量张量的且签名可以表示为 ，其中 。
定义
伪黎曼流形是可微流形M ，其具有处处非退化、光滑、对称的度量张量g 。
这样的度量称为伪黎曼度量。应用于矢量场，流形上任何一点的标量场值可以是正、负或零。
伪黎曼度量的签名是 ，其中p和q均为非负。非退化条件与连续性一起意味着p和q在整个流形中保持不变（假设它是连通的）。
洛伦兹流形
洛伦兹流形是伪黎曼流形的一个重要特例，其中度量的符号为 （等价于 ；参见符号约定）。这样的度量被称为洛伦兹度量。它们以荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹 (Hendrik Lorentz) 的名字命名。
物理学中的应用
洛伦兹流形是继黎曼流形之后伪黎曼流形最重要的子类。它们在广义相对论的应用中很重要。
广义相对论的一个主要前提是，时空可以建模为一个四维洛伦兹流形，其特征为 ，或者等效地为 。与具有正定度量的黎曼流形不同，不定签名允许将切向量分类为类时间、零或类空间。当流形具有或的签名时，它也是局部（也可能是全局）时间可定向的（参见因果结构）。
伪黎曼流形的性质
就像欧氏空间\mathbb{R}^n可以被认为是黎曼流形的局部模型，闵可夫斯基空间\mathbb{R}^{n-1,1}采用平坦的闵可夫斯基度量是洛伦兹流形的局部模型。同样地，特征为 ( p, q ) 的伪黎曼流形的模型空间是伪欧几里得空间\mathbb{R}^{p,q} ，存在坐标x i使得
: g = dx_1^2 + \cdots + dx_p^2 - dx_{p+1}^2 - \cdots - dx_{p+q}^2
黎曼几何的一些定理可以推广到伪黎曼情况。特别是，黎曼几何基本定理对所有伪黎曼流形都成立。这使得人们可以谈论伪黎曼流形上的列维-奇维塔联络以及相关的曲率张量。另一方面，黎曼几何中有许多定理在广义情况下不成立。例如，并不是每个光滑流形都允许给定特征的伪黎曼度量；存在某些拓扑障碍。此外，子流形并不总是继承伪黎曼流形的结构；例如，在任何类光曲线上，度量张量都变为零。克利夫顿-波尔环面是紧致但不完备的伪黎曼流形的一个例子，霍普夫-里诺定理不允许黎曼流形具有这种性质。
参见
- 因果关系条件
- 全局双曲流形
- 双曲偏微分方程
- 可定向流形
- 时空
- 发条火箭
笔记
参考
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外部链接
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