曲线的微分几何是几何学的一个分支，使用微分与积分专门研究平面与欧几里得空间中的光滑曲线。
从古代开始，许多具体曲线已经用综合方法深入研究。微分几何采取另外一种方式：把曲线表示为参数形式，将它们的几何性质和各种量，比如曲率和弧长，用向量分析表示为导数和积分。分析曲线最重要的工具之一为 Frenet 标架，是一个活动标架，在曲线每一点附近给出“最合适”的坐标系。
曲线的理论比及其高维推广的范围要狭窄得多，也简单得多。因为欧几里得空间中的正则曲线没有内蕴几何。任何正则曲线可以用弧长（“自然参数”）参数化，从曲线上来看不能知道周围空间的任何信息，所有曲线都是一样的。不同空间曲线只是由它们的弯曲和扭曲程度区分。数量上，这由微分几何不变量曲线的“曲率”和“挠率”来衡量。曲线基本定理断言这些不变量的信息完全确定了曲线。
定义
设 n 是一个正整数，r 是正整数或 \infty，I 是实数非空区间，t 属于 I。一个C^r 类（即 \gamma 为 r 次连续可微）向量值函数
:\mathbf{\gamma}:I \to {\mathbb R}^n
称为一条 C^r 类参数曲线或曲线 \gamma 的一个 C^r 参数化，t 称为曲线 \gamma 的参数，\gamma(I) 称为曲线的像。将参数曲线 \gamma 和它的像 \gamma(I) 区别开来是非常重要的，因为一个给定的{\mathbb R}^n的子集可以是许多不同的参数曲线的像。
可以想象参数 t 代表时间，而曲线 \gamma(t) 作为空间中一个运动粒子轨迹。
如果 I 是闭区间 [a, b]，我们称 γ(a) 为曲线 γ 的起点而 γ(b) 为终点。
如果 \gamma(a)=\gamma(b)，我们说 γ 是闭的或是一个环路。进一步，我们称 γ 是一条闭 Cr-曲线，如果 γ(k)(a) = γ(k)(b) 对所有 k ≤ r。
如果 \gamma:(a,b)\to \mathbb{R}^n 为单射，我们称为简单曲线。
如果参数曲线 \gamma 局部可写成幂级数，我们称曲线解析或是 C^\omega 类。
记号 -\gamma 表示朝相反的方向运动的曲线。
一条 C^k-曲线
:\gamma:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n
称为 m 阶正则当且仅当对任何 t 属于I
:\lbrace \gamma'(t), \gamma*(t), ...,\gamma^{(m)}(t) \rbrace \mbox {, } m \leq k
在 \mathbb{R}^n 中线性无关。
特别地，一条 C^1-曲线 \gamma 是正则的如果
:\gamma'(t) \neq 0 对任何 t \in I \,.
重新参数化与等价关系
给定一条曲线的像我们可以定义曲线的许多不同的参数化。微分几何旨在描述在一定的参数化下不变的性质。所以我们需在所有参数曲线集合上定义一种合适的等价关系。曲线的微分几何性质（长度，Frenet 标架和广义曲率）在重新参数化下不变从而满足等价类性质。这个等价类称为 Cr 曲线，是曲线的微分几何研究的中心。
两个 Cr 参数曲线
: \mathbf{\gamma_1}:I_1 \to R^n
与
: \mathbf{\gamma_2}:I_2 \to R^n
要称为等价，就要存在一个 Cr 双射
: \phi :I_1 \to I_2
使得
: \phi'(t) \neq 0 \qquad (t \in I_1)
和
: \mathbf{\gamma_2}(\phi(t)) = \mathbf{\gamma_1}(t) \qquad (t \in I_1)\,.
γ2 称为 γ1 的重新参数化。这种 γ1 的重新参数化在所有参数 Cr 曲线的集合上定义了一种等价关系，其等价类称为 Cr 曲线。
对定向 Cr 曲线，我们可以定义一种“加细”的等价关系，要求 φ 满足 φ'(t) > 0。
等价的 Cr 曲线有相同的像；等价的定向 Cr 曲线有相同的运动方向。
长度与自然参数化
C1 曲线 γ : [a, b] → Rn 的长度 l 可以定义为
:l = \int_a^b \vert \mathbf{\gamma}'(t) \vert dt.
曲线的长度在重参数化下保持不变，从而是曲线的一个微分几何性质。
对任何正则 Cr （r 至少为 1）曲线 γ: [a, b] → Rn 我们可以定义一个函数
:s(t) = \int_{t_0}^t \vert \mathbf{\gamma}'(x) \vert dx.
写成
:\overline{\mathbf{\gamma}(s)} = \gamma(t(s))
这里 t(s) 是 s(t) 的逆函数，我们得到 γ 的一个新参数化 \bar \gamma，称为自然、弧长或单位速度参数化；参数 s(t) 称为 γ 的自然参数。
我们偏爱这个参数，因为自然参数 s(t) 以单位速度转动 γ 的像，所以
:\vert \overline{\mathbf{\gamma}'(s(t))} \vert = 1 \qquad (t \in I).
在实际中常常很难计算出一条曲线的自然参数，但在理论讨论中很有用。
给定一条参数化曲线 γ(t) 的自然参数化是在差一个参数移动的意义下是惟一的。
数量
:E(\gamma) = \frac{1}{2}\int_a^b \vert \mathbf{\gamma}'(t) \vert^2 dt
经常称为曲线的能量或作用量；这个名称是有理由的，因为测地线方程是这个作用量的欧拉-拉格朗日运动方程。
Frenet 标架
一个 Frenet 标架是一个移动的参考标架，由描述曲线在每一点 γ(t) 局部性质的n 个正交向量 ei(t) 组成。这是微分几何处理曲线的主要工具，因为在这个局部参考系中，远比使用欧几里得那样的整体坐标系更容易和自然地描述局部性质（如曲率、挠率）。
给定 Rn 中一条 n 阶正则 Cn+1-曲线 γ，曲线的 Frenet 标架是一组正交向量
:\mathbf{e}_1(t), \ldots, \mathbf{e}_n(t)
称为 Frenet 向量。它们是通过对 γ(t) 的各阶导数使用格拉姆-施密特正交化算法得到的：
:\mathbf{e}_1(t) = \frac{\mathbf{\gamma}'(t)}{\| \mathbf{\gamma}'(t) \|}
:
\mathbf{e}_{j}(t) = \frac{\overline{\mathbf{e}_{j}}(t)}{\|\overline{\mathbf{e}_{j}}(t) \|}
\mbox{, }
\overline{\mathbf{e}_{j}}(t) = \mathbf{\gamma}^{(j)}(t) - \sum _{i=1}^{j-1} \langle \mathbf{\gamma}^{(j)}(t), \mathbf{e}_i(t) \rangle \, \mathbf{e}_i(t)
实值函数 χi(t) 称为 广义曲率，定义为
:\chi_i(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_i'(t), \mathbf{e}_{i+1}(t) \rangle}{\| \mathbf{\gamma}^'(t) \|}
Frenet 标架和广义曲率在重新参数化下是不变的，故它们是曲线的微分几何性质。
特殊 Frenet 向量和广义曲率
最初三个 Frenet 向量和广义曲率可以在三维空间中看到。它们有额外的名字以及与名称相关更多信息。
切向量
如果曲線 γ 表示一個質點的軌跡，那麼質點在給定點 P 的瞬時速度用一個向量表示，稱為曲線在 P 的切向量。
數學表述為，給定一條曲線 γ = γ(t)，對參數 t 的任何值： t = t0，
向量：
:\gamma'(t_0) = \frac{d}{d\,t}\mathbf{\gamma}(t) , {t=t_0}
是點 P = γ(t0) 的切向量。一般說，切向量可以為零向量。
切向量的長度：
:\|\mathbf{\gamma}'(t_0)\|
是在時間 t0 的速率。
第一個 Frenet 向量 e1(t) 是在同一方向的單位切向量，在 γ 的每個正則點有定義：
:\mathbf{e}_{1}(t) = \frac{ \mathbf{\gamma}'(t) }{ \| \mathbf{\gamma}'(t) \|}.
如果 t = s 是自然參數則切向量有單位長，從而公式化簡為：
:\mathbf{e}_{1}(s) = \mathbf{\gamma}'(s).
單位切向量確定了曲線的定向，或隨著參數增長的前進方向。
法向量
法向量，有时也称为曲率向量，表明曲线和一条直线的偏离程度。
法向量定义为
:\overline{\mathbf{e}_2}(t) = \mathbf{\gamma}(t) - \langle \mathbf{\gamma}(t), \mathbf{e}_1(t) \rangle \, \mathbf{e}_1(t).
其正规形式单位法向量，是 Frenet 向量 e2(t)，定义为
:\mathbf{e}_2(t) = \frac{\overline{\mathbf{e}_2}(t)} {\| \overline{\mathbf{e}_2}(t) \|}.
t 点的切向量和法向量张成 t 点的密切平面。
曲率
第一个广义曲率 χ1(t) 称为曲率，度量了曲线 γ 偏离密切平面上一条直线的程度。定义为
:\kappa(t) = \chi_1(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_1'(t), \mathbf{e}_2(t) \rangle}{\| \mathbf{\gamma}^'(t) \|}
称为 γ 在点 t 的曲率。
曲率的倒数
:\frac{1}{\kappa(t)}
称为曲率半径。
半径为 r 的圆周有常曲率
:\kappa(t) = \frac{1}{r}\,,
但一条直线的曲率是 0 。
次法向量
次法向量是第三个 Frenet 向量 e3(t) ，
总是正交于 t 点的单位切向量和单位法向量。其定义为
:\mathbf{e}_3(t) = \frac{\overline{\mathbf{e}_3}(t)} {\| \overline{\mathbf{e}_3}(t) \|}
\quad
\overline{\mathbf{e}_3}(t) = \mathbf{\gamma}(t) - \langle \mathbf{\gamma}(t), \mathbf{e}_1(t) \rangle \, \mathbf{e}_1(t)
- \langle \mathbf{\gamma}**(t), \mathbf{e}_2(t) \rangle \,\mathbf{e}_2(t)
在 3 维空间中等式简化为
:\mathbf{e}_3(t) = \mathbf{e}_2(t) \times \mathbf{e}_1(t)\,.
挠率
第二广义曲率 χ2(t) 称为挠率，度量了 γ 和一条平面曲线的偏离程度。或者说，如果挠率为 0 则曲线完全在某平面内（任何 t 都在这一个平面内）。
:\tau(t) = \chi_2(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_2'(t), \mathbf{e}_3(t) \rangle}{\| \mathbf{\gamma}'(t) \|}
称为 γ 在点 t 的挠率。
曲线论主要定理
给定 n 个函数
:\chi_i \in C^{n-i}([a,b]) \mbox{, } 1 \leq i \leq n
满足
:\chi_i(t) > 0 \mbox{, } 1 \leq i \leq n-1
那么存在惟一的（在差一个欧几里得群作用的意义下） n 阶正则 Cn+1-曲线 γ，具有如下性质
:\|\gamma'(t)\| = 1 \mbox{ } (t \in [a,b])
:\chi_i(t) = \frac{ \langle \mathbf{e}_i'(t), \mathbf{e}_{i+1}(t) \rangle}{\| \mathbf{\gamma}'(t) \|} \,,
这里集合
:\mathbf{e}_1(t), \ldots, \mathbf{e}_n(t)
是曲面的 Frenet 标架。
再附加起始 t0 ∈ I，起始点 p0 ∈ Rn 以及一个初始正交标架 {e1, ..., en-1} 满足
:\mathbf{\gamma}(t_0) = \mathbf{p}_0
:\mathbf{e}_i(t_0) = \mathbf{e}_i \mbox{, } 1 \leq i \leq n-1
那么我们可以排除欧几里得作用得到惟一的曲线 γ。
Frenet-Serret 公式
Frenet-Serret 公式是一组一阶常微分方程。其解为由广义曲率函数 χi 所刻画的曲线的 Frenet 向量组。
2-维
:
\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_1'(t)\\
\mathbf{e}_2'(t) \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & \kappa(t) \\
-\kappa(t) & 0 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_1(t)\\
\mathbf{e}_2(t) \\
\end{bmatrix}
3-维
:
\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_1'(t) \\
\mathbf{e}_2'(t) \\
\mathbf{e}_3'(t) \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & \kappa(t) & 0 \\
-\kappa(t) & 0 & \tau(t) \\
0 & -\tau(t) & 0 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_1(t) \\
\mathbf{e}_2(t) \\
\mathbf{e}_3(t) \\
\end{bmatrix}
n 维一般公式
:
\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_1'(t)\\
\vdots \\
\mathbf{e}_n'(t) \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & \chi_1(t) & & 0 \\
-\chi_1(t) & \ddots & \ddots & \\
& \ddots & 0 & \chi_{n-1}(t) \\
0 & & -\chi_{n-1}(t) & 0 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_1(t) \\
\vdots \\
\mathbf{e}_n(t) \\
\end{bmatrix}
参考文献
- Erwin Kreyszig, Differential Geometry, Dover Publications, New York, 1991, ISBN 9780484667218. Chapter II is is a classical treatment of Theory of Curves in 3-dimensions.
- 陈维桓，微分几何，北京大学出版社，北京，2006年，ISBN 7-301-10709.
另见
*
*曲线的仿射几何
*弧
*切线、切点、次切距
*密切圆
*包络线、转迹线
*四顶点定理
*测地线
*等周问题
*环绕数
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