定常系統
在經典力學裏，如果一個系統的所有約束都是定常約束（scleronomous constraint），則稱此系統為定常系統（scleronomous system）。定常約束顯性地不含時間。假若約束顯性地含時間，則稱此約束為非定常約束。 應用 :主要項目：廣義速度 在三維空間裏，一個質量為m、速度為\mathbf{v}的粒子的動能是 :T =\frac{1}{2}m v^2 。 速度是位置\mathbf{r}對於時間t的導數。應用偏微分連…
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共 18 篇文章
完整系統
在經典力學裏，假若一個系統的所有的約束條件都是，則稱此系統為完整系統（）。完整約束以方程式表達為 : f(x_1,\ x_2,\ x_3,\ \dots,\ x_N,\ t)=0； 其中，x_i是每一個粒子P_i之位置，t是時間。 假若一個約束條件不能夠以上述方程式表達，則稱此約束條件為非完整約束。 假若一個系統有任何約束條件不是完整約束，則稱此系統為非完整系統。 轉換至廣義坐標 完整約束方程式只跟位置、時間有關，跟速度無關。完整約束方…
單演系統
在經典力學裏，單演系統（）是最常使用的物理系統之一。這是因為單演系統提供了一個非常理想的系統，使得物理學家能夠發展與檢查嶄新的構想與理論。單演系統具有優良的數學性質，非常適合作數學分析，是任何物理理論研究的起始點。 假若在一個物理系統裏，除了約束力以外，所有的作用力都是純量廣義位勢函數的導數，而此廣義位勢函數的參數是廣義坐標，廣義速度，或時間，則稱此系統為單演系統。 在單演系統裏，除了約束力以外，所有的廣義力\mathcal{F}_i\…
哈密頓-雅可比方程式
在物理學裏，哈密頓-雅可比方程 （Hamilton-Jacobi equation，HJE） 是經典力學的一種表述。哈密顿-雅可比方程、牛頓力學、拉格朗日力學、哈密頓力學，這幾個表述是互相全等的。而哈密顿-雅可比方程在辨明守恆的物理量方面，特別有用處。有時候，雖然物理問題的本身無法完全解析，哈密顿-雅可比方程仍舊能夠正確的辨明守恆的物理量。 HJE 是经典哈密顿量一个正则变换，经过该变换得到的结果是一个一阶非线性偏微分方程，方程式之解描…
正則變換生成函數
在哈密頓力學裏，當計算正則變換時，生成函數扮演的角色，好似在兩組正則坐標 (\mathbf{q},\ \mathbf{p}) ，(\mathbf{Q},\ \mathbf{P}) 之間的一座橋。為了要保證正則變換的正確性 ，採取一種間接的方法，稱為生成函數方法。這兩組變數必須符合方程式 :\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}=\mathbf{P}\cdot\dot{\mathbf{Q…
運動常數
在經典力學裏，對於一個動力系統，隨著時間的演進，所有保持不變的物理量都稱為運動常數（），又稱為守恆量。它的作用有點類似運動的約束。可是，運動常數是數學的約束，自然地從運動方程式中顯現出來，而不是物理的約束；物理的約束會有相應的約束力來維持這約束。常見的運動常數例子有能量、動量、角動量、拉普拉斯-龍格-冷次向量。 應用 運動常數的辨認對於研究物理問題是非常重要的。通過解析運動常數，可以明瞭許多物體運動的性質，而不需將運動方程式的解答完全計…
約束 (經典力學)
在经典力学中，约束（constraint）是指对非自由质点（或系统）的空间位置和运动状态预先施加的几何限制或运动限制，亦即减少系统自由度的各种限制条件。 约束力（constraint force）是由于约束的存在而产生的，用以限制研究对象（隔离体）沿某些方向运动的力。约束力的大小和方向取决于主动力（active force）；如果没有主动力去尝试改变物体的运动状态，约束力通常不存在或保持静止状态。约束反力（constraint reac…
非完整系統
在古典力學裏，假如，一個系統有任何約束是非完整約束，則稱此系統為非完整系統。非完整約束不是。完整約束可以用方程式表示為 : f(x_1,\ x_2,\ x_3,\ \dots,\ x_N,\ t)=0； 這裏，f是每一個粒子P_i之位置x_i和時間t的函數。非完整約束不能夠用上述方程式表示。 廣義坐標的轉換 完整約束方程式與位置、時間有關，與速度無關。完整約束方程式可以很簡易地除去指定的變數。假設變數x_d是完整約束函數f_k裏的一個參…
勒壤得轉換
(x_0,\ f(x_0))\,\! 的切線用藍色表示。切線與 y-軸相交於點 (0,\ - f^)\,\! ；這裏，f^\,\! 是勒壤得轉換 f^(p_0)\,\! 的值，p_0=\dot{f}(x_0)\,\! 。特別注意，穿過在紅線上任何其它點，而擁有同樣斜率 \dot{f}(x_0)\,\! 的直線，其與 y-軸相交點必定比點 (0,\ - f^)\,\! 高，證明 f^\,\! 確實是極大值。]] 勒壤得轉換（）是一個在數學…
作用量-角度坐标
在經典力學裏，作用量-角度坐標（action-angle coordinate）是一組正則坐標，通常在解析可積分系統 () 時，有很大的用處。應用作用量-角度坐標的方法，不需要先解析運動方程式，就能夠求得振動或旋轉的頻率。作用量-角度坐標主要用於完全可分的 哈密頓-亞可比方程式（哈密頓量顯性地不含時間，也就是說，能量保持恆定）。作用量-角度變數可以用來定義一個環面不變量。因為，保持作用量的不變設定了環的曲面，而角度是環面的另外一個坐標，…
廣義力
廣義力（）是拉格朗日力學裏面的一個基本概念。在一個物理系統裏，因為力\mathbf{F}\,\!，一個粒子經過虛位移\delta \mathbf{r}\,\!，所作的虛功\delta W\,\!是 :\delta W = \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r}\,\!。 轉換至廣義坐標q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots\ q_N\,\!， :\delta W = \sum_{j=1}^N\ \m…
相空間
在數學與物理學中，相空間（）是一個用以表示出一系統所有可能狀態的空間；系統每個可能的狀態都有一相對應的相空間的點。 歷史 約瑟夫·劉維爾首先於1838年在表述劉維定理的論文裡涉及到相空间的概念，證實了相空間的體積守恆，但是他並不知道劉維定理可以應用於動力學問題。後來，卡爾·雅可比與路德维希·玻尔兹曼分別在發展力學理論與氣體運動論時應用到相空間，並且引述了劉維定理的論文為參考文獻。玻尔兹曼的學生保羅·埃倫費斯特在為一本1911年出版的百科…
非定常系統
在經典力學裏，假若一個系統的任何約束是非定常約束，則定義此系統為非定常系統。非定常約束的方程式顯性地含時間。假若約束方程式不顯性地含時間，則稱此約束為定常約束。 實例1：單擺 如右圖所示，單擺是由一個擺錘與一條繩子組成的簡單機械；繩子的上端固定，下端繫著擺錘。由於這繩子是無法伸縮的，繩子的長度是常數。所以，這系統是定常系統；它遵守定常約束 : \sqrt{x^2+y^2} - L=0； 其中，(x,\ y)是擺錘的位置，L是擺長。 實例…
哈密頓系統
哈密頓系統是物理學和古典力學中的一個實體系統，是動力系統的一個特例——其中的力和動量是不變量。哈密頓系統研究的是哈密頓力學。 在數學中，汉密顿系统是一個可以書寫成哈密頓方程式形式的微分方程系統。哈密頓系統通常可以用哈密頓向量場公式表示在辛流形或帕松流形上。 例子 動力學的撞球 行星系統 相關條目 作用量-角度坐標 劉維定理
辛標記
在哈密頓力學裏，因為哈密頓方程式對於廣義坐標 \mathbf{q}\,\! 與廣義動量 \mathbf{p}\,\! 的運算在正負號上並不對稱，必須用兩個方程式來表示： :\dot{\mathbf{q}}=~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{p}}\,\! ， :\dot{\mathbf{p}}= - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \m…
正則座標
在古典力學裏，正則座標是相空間的一種座標。正則座標很自然的出現於哈密頓力學的研究。正如同哈密頓力學的被辛幾何廣義化，正則變換也被切觸變換廣義化。如此在古典力學裏，正則座標的19世紀定義也被廣義化，成為更抽象地以餘切叢為基礎的20世紀定義。 定義 在哈密頓力學裏，正則座標 (\mathbf{q},\ \mathbf{p})\,\! 必須滿足哈密頓方程式： :\dot{\mathbf{q}}=~~\frac{\partial \mathca…
正則變換
在哈密頓力學裏，正則變換（canonical transformation）是一種正則坐標的改變，(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})，而同時維持哈密頓方程的形式，雖然哈密頓量可能會改變。正則變換是哈密頓-亞可比方程式與刘维尔定理的基礎。 定義 點變換（）將廣義坐標\mathbf{q}=(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_N)變換成廣義坐…
廣義動量
拉格朗日力學與哈密頓力學時常涉及廣義動量。這是因為採用廣義坐標有許多優點。而廣義動量是正則共軛於廣義坐標的物理量，又稱為共軛動量。 假設一個物理系統的廣義坐標是 (q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots,\ q_N)\,\! ，則廣義速度為 (\dot{q}_1,\ \dot{q}_2,\ \dot{q}_3,\ \dots,\ \dot{q}_N)\,\! 。表示廣義動量為 (p_1,\ p_2,\ p_3,\ \dots,\…