正則變換生成函數

在哈密頓力學裏，當計算正則變換時，生成函數扮演的角色，好似在兩組正則坐標 (\mathbf{q},\ \mathbf{p}) ，(\mathbf{Q},\ \mathbf{P}) 之間的一座橋。為了要保證正則變換的正確性 ，採取一種間接的方法，稱為生成函數方法。這兩組變數必須符合方程式
:\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}=\mathbf{P}\cdot\dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}+\frac{dG}{dt} ；(1)

其中，\mathbf{q}=(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_N) 是舊廣義坐標，\mathbf{p}=(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_N) 是舊廣義動量，\mathbf{Q}=(Q_1,\ Q_2,\ \dots,\ Q_N) 是新廣義坐標，\mathbf{P}=(P_1,\ P_2,\ \dots,\ P_N) 是新廣義動量，\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t),\ \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t) 分別為舊哈密頓量與新哈密頓量，G(-,\ -,\ t) 是生成函數，t 是時間。

生成函數 G 的參數，除了時間以外，一半是舊的正則坐標；另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定，一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種不同的變換，從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換 (\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P}) 保證是正則變換。

生成函數列表
第一型生成函數
第一型生成函數 G_{1} 只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關，
:G=G_{1}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t) 。

代入方程式 (1) 。展開生成函數對於時間的全導數，
:\mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t) =
\mathbf{P} \cdot \dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P}, t) + \frac{\partial G_{1}}{\partial t} + \frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}} \cdot \dot{\mathbf{q}} + \frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}} \cdot \dot{\mathbf{Q}} 。

新廣義坐標 \mathbf{Q} 和舊廣義坐標 \mathbf{q} 都是自變量，其對於時間的全導數 \dot{\mathbf{Q}} 和 \dot{\mathbf{q}} 互相無關，所以，以下 2N+1 個方程式都必須成立：
:\mathbf{p} = ~~\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}} ，(2)
:\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}} ，(3)
:\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{1}}{\partial t} 。(4)

這 2N+1 個方程式設定了變換 (\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P}) ，步驟如下：

第一組的 N 個方程式 (2) ，設定了 \mathbf{p} 的 N 個函數方程式
:\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t) 。
在理想情況下，這些方程式可以逆算出 \mathbf{Q} 的 N 個函數方程式
:\mathbf{Q}=\mathbf{Q}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t) 。(5)

第二組的 N 個方程式 (3) ，設定了 \mathbf{P} 的 N 個函數方程式
:\mathbf{P}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t) 。

代入函數方程式 (5) ，可以算出 \mathbf{P} 的 N 個函數方程式
:\mathbf{P}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t) 。(6)

從 2N 個函數方程式 (5) 、(6) ，可以逆算出 2N 個函數方程式
:\mathbf{q}=\mathbf{q}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t) ，
:\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t) 。

代入新哈密頓量 \mathcal{K} 的方程式 (4) ，可以得到
:\mathcal{K} =\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t) 。

第二型生成函數
第二型生成函數 G_{2} 只跟舊廣義坐標 \mathbf{q} 、新廣義動量 \mathbf{P} 有關 ：
:G \equiv - \mathbf{Q}\cdot\mathbf{P}+G_{2}(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)
；

代入方程式 (1) 。展開生成函數隨時間的全導數：
:\mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) =
-\mathbf{Q} \cdot \dot{\mathbf{P}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q}, \mathbf{P}, t) + \frac{\partial G_{2}}{\partial t} + \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{q}} \cdot \dot{\mathbf{q}} + \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{P}} \cdot \dot{\mathbf{P}} 。

由於舊廣義坐標 \mathbf{q} 與新廣義動量 \mathbf{P} 必須彼此無關，以下 2N+1 方程式必須成立：
:\mathbf{p} = \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{q}} ，(7)　
:\mathbf{Q} = \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{P}} ，(8)
:\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{2}}{\partial t} 。(9)

這 2N+1 個方程式設定了變換 (\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P}) 。步驟如下：

第一組的 N 個方程式 (7) ，設定了 \mathbf{p} 的函數方程式
:\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t) 。
在理想情況下，這些方程式可以逆算出 \mathbf{P} 的函數方程式
:\mathbf{P}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t) 。(10)

第二組的 N 個方程式 (8) ，設定了的函數方程式
:\mathbf{Q}=\mathbf{Q}(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t) 。

代入函數方程式 (10) ，可以算出 \mathbf{Q} 函數方程式
:\mathbf{Q}=\mathbf{Q}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t) 。(11)

由函數方程式 (10) 、(11) ，可以算出函數方程式
:\mathbf{q}=\mathbf{q}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t) ，
:\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t) 。

代入新哈密頓量的方程式 (9) ，則可得到
:\mathcal{K} =\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t) 。

第三型生成函數
第三型生成函數只跟舊廣義動量 \mathbf{p} 、新廣義坐標 \mathbf{Q} 有關：
:G \equiv \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} + G_{3}(\mathbf{p},\ \mathbf{Q},\ t)
。

以下 2N+1 方程式設定了變換 (\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P}) ：
:\mathbf{q} = -\frac{\partial G_{3}}{\partial \mathbf{p}} ，
:\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{3}}{\partial \mathbf{Q}} ，
:\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{3}}{\partial t} 。

第四型生成函數
第四型生成函數 G_{4}(\mathbf{p}, \mathbf{P}, t) 只跟舊廣義動量 \mathbf{p} 、新廣義動量 \mathbf{P} 有關：
:G \equiv \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} - \mathbf{Q} \cdot \mathbf{P} + G_{4}(\mathbf{p}, \mathbf{P}, t) 。

以下 2N+1 方程式設定了變換 (\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P}) ：
:\mathbf{q} = -\frac{\partial G_{4}}{\partial \mathbf{p}} ，
:\mathbf{Q} = ~~\frac{\partial G_{4}}{\partial \mathbf{P}} ，
:\mathcal{K}= \mathcal{H} + \frac{\partial G_{4}}{\partial t} 。

實例 1
第一型生成函數有一個特別簡易案例：
:G_{1} \equiv \mathbf{q} \cdot \mathbf{Q} 。

方程式 (2) ，(3) ，(4) 的答案分別為
:\mathbf{p} = ~~\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}} = \mathbf{Q} ，
:\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}} = -\mathbf{q}
，
:\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)=\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t) 。

實例 2
再擧一個涉及第二型生成函數，比較複雜的例子。讓
:G_{2} \equiv \mathbf{g}(\mathbf{q};\ t) \cdot \mathbf{P} ；

這裏， \mathbf{g} 是一組 N 個函數。

答案是一個廣義坐標的點變換，
:\mathbf{Q}=\frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{P}} =\mathbf{g}(\mathbf{q};\ t) 。

實例 3
有時候，可以將一個給定的哈密頓量，變成一個很像諧振子的哈密頓量，
:\mathcal{H} = aP^2 + b Q^2 。

例如，假若哈密頓量為
:\mathcal{H}= \frac{1}{2q^2} + \frac{p^2 q^4}{2} ；(12)

這裏，p 是廣義動量，q 是廣義坐標。

一個優良的正則變換選擇是
:P = pq^2 ，(13)
:Q = - \frac{1}{q} 。(14)

代入方程式 (12) ，新哈密頓量的形式與諧振子的哈密頓量型式相同：
:\mathcal{H} = \frac{Q^2}{2} + \frac{P^2}{2}

這變換用的是第三型生成函數 G_3(p,\ Q) ；其對於 Q 的導數是
:\frac{\partial G_3}{\partial Q}= - P 。

代入方程式 (13) 、(14) ，
:\frac{\partial G_3}{\partial Q}= - \frac{p}{Q^2} 。

對於 Q 積分，可以得到生成函數 G_3 ：
:G_3(p,\ Q) = \frac{p}{Q} 。

最後，檢查答案是否正確：
:q = - \frac{\partial G_3}{\partial p} = \frac{-1}{Q} 。

參閱
*哈密頓-亞可比方程式
*帕松括號
*正則變換列表

參考文獻
*