正則變換

在哈密頓力學裏，正則變換（canonical transformation）是一種正則坐標的改變，(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})，而同時維持哈密頓方程的形式，雖然哈密頓量可能會改變。正則變換是哈密頓-亞可比方程式與刘维尔定理的基礎。

定義
點變換（）將廣義坐標\mathbf{q}=(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_N)變換成廣義坐標\mathbf{Q}=(Q_1,\ Q_2,\ \dots,\ Q_N)，點變換方程式的形式為
:q_i=q_i(Q_1,\ Q_2,\ \dots,\ Q_N,\ t)\ ,\qquad\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N；

其中，t是時間。

在哈密頓力學裏，由於廣義坐標與廣義動量\mathbf{p}=(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_N)同樣地都是自變量（），點變換的定義可以加以延伸，使變換方程式成為
:q_i=q_i(Q_1,\ Q_2,\ \dots,\ Q_N,\ P_1,\ P_2,\ \dots,\ P_N,\ t)\ ,\qquad\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N，
:p_i=p_i(Q_1,\ Q_2,\ \dots,\ Q_N,\ P_1,\ P_2,\ \dots,\ P_N,\ t)\ ,\qquad\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N；

其中，\mathbf{P}=(P_1,\ P_2,\ \dots,\ P_N)是新的廣義動量。

為了分辨這兩種不同的點變換，稱前一種點變換為位形空間點變換，而後一種為相空間點變換。

在哈密頓力學裏，正則變換將一組正則坐標(\mathbf{q},\ \mathbf{p})變換為一組新的正則坐標(\mathbf{Q},\ \mathbf{P})，而同時維持哈密頓方程式的形式（稱為形式不變性）。原本的哈密頓方程式為
:\dot{\mathbf{q}} =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{p}}，
:\dot{\mathbf{p}} = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{q}} ；

新的哈密頓方程式為
:\dot{\mathbf{Q}} =~~\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{P}}，
:\dot{\mathbf{P}} = - \frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{Q}} ；

其中，\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)、\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)分別為原本的哈密頓量與新的哈密頓量。

實際用處
思考一個物理系統的哈密頓量
:\mathcal{H}=\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)。

假設哈密頓量跟其中一個廣義坐標q_i無關，則稱q_i為可略坐標（），或循環坐標（）：
:\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i}=0。

在哈密頓方程式中，廣義動量對於時間的導數是
:\dot{p}_i= - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i}=0。

所以，廣義動量p_i是常數k_i。

假設一個系統裏有n個廣義坐標是可略坐標。找出這n個可略坐標，則可以使這系統減少2n個變數；使問題的困難度減少很多。正則變換可以用來尋找這一組可略坐標。

生成函數方法
:主項目：正則變換生成函數
採取一種間接的方法，稱為生成函數方法，從(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ \mathcal{H}) 變換到(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ \mathcal{K})。為了要保證正則變換的正確性，第二組變數必須跟第一組變數一樣地遵守哈密頓原理
:\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)\right]dt=0、

:\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[ \mathbf{P}\cdot\dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t) \right]dt=0。

那麼，必須令
:\sigma \left[ \mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t) \right] = \mathbf{P} \cdot \dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t) + \frac{dG}{dt}；

其中，\sigma是標度因子，G是生成函數。

假若一個變換涉及標度因子，則稱此變換為標度變換（）。一般而言，標度因子不一定等於1。假若標度因子不等於1，則稱此正則變換為延伸正則變換（）；假若標度因子等於1，則稱為正則變換。

任何延伸正則變換都可以修改為正則變換。假設一個\sigma \ne 1的延伸正則變換表示為
:\sigma\left[\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}\right]=\mathbf{P}'\cdot\dot{\mathbf{Q}}' - \mathcal{K}\,'+\frac{dG\,'}{dt}。

則可以設定另外一組變數與哈密頓量：
\mathbf{Q}=\alpha \mathbf{Q}'、
\mathbf{P}=\beta \mathbf{P}'、
\mathcal{K}=\alpha\beta\mathcal{K}\,'、
G=\alpha\beta G\,'；其中，\alpha,\ \beta是用來刪除\sigma的常數，\sigma=\frac{1}{\alpha\beta}。經過一番運算，可以得到
:\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{P}}=\alpha\frac{\partial \mathcal{K}\,'}{\partial \mathbf{P}'}=\alpha\dot{\mathbf{Q}}'=\dot{\mathbf{Q}}、
:\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{Q}}=\beta\frac{\partial \mathcal{K}\,'}{\partial \mathbf{Q}'}= - \beta\dot{\mathbf{P}}'= - \dot{\mathbf{P}}、
:\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}=\alpha\beta(\mathbf{P}'\cdot\dot{\mathbf{Q}}' - \mathcal{K}\,'+\frac{dG\,'}{dt})=\mathbf{P}\cdot\dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}+\frac{dG}{dt}。（1）

顯然地，這變換符合哈密頓方程式。所以，任何延伸正則變換都可以改變為正則變換。

假若正則變換不顯性含時間，則稱為設限正則變換（）。

生成函數G的參數，除了時間以外，一半是舊的正則坐標；另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定，一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種變換，從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})保證是正則變換。

第一型生成函數
第一型生成函數G_{1}只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關，
:G=G_{1}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)。

代入方程式（1）。展開生成函數對於時間的全導數，
:\mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t) =
\mathbf{P} \cdot \dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P}, t) + \frac{\partial G_{1}}{\partial t} + \frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}} \cdot \dot{\mathbf{q}} + \frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}} \cdot \dot{\mathbf{Q}}。

新廣義坐標\mathbf{Q}和舊廣義坐標\mathbf{q}都是自變量，其對於時間的全導數\dot{\mathbf{Q}}和\dot{\mathbf{q}}互相無關，所以，以下2N+1個方程式都必須成立：
:\mathbf{p} = ~~\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}}，（2）
:\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}}，（3）
:\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{1}}{\partial t}。（4）

這2N+1個方程式設定了變換(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})，步驟如下：

第一組的N個方程式（2），設定了\mathbf{p}的N個函數方程式
:\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)。

在理想情況下，這些方程式可以逆算出\mathbf{Q}的N個函數方程式
:\mathbf{Q}=\mathbf{Q}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)。（5）

第二組的N個方程式（3），設定了\mathbf{P}的N個函數方程式
:\mathbf{P}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)。

代入函數方程式（5），可以算出\mathbf{P}的N個函數方程式
:\mathbf{P}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)。（6）

從2N個函數方程式（5）、（6），可以逆算出2N個函數方程式
:\mathbf{q}=\mathbf{q}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)，
:\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)。

代入新哈密頓量\mathcal{K}的方程式（4），可以得到
:\mathcal{K} =\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)。

第二型生成函數
第二型生成函數G_{2}的參數是舊廣義坐標\mathbf{q}、新廣義動量\mathbf{P} 與時間：
:G = - \mathbf{Q}\cdot\mathbf{P}+G_{2}(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)
；

以下2N+1方程式設定了變換(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})：
:\mathbf{p} = \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{q}}，　
:\mathbf{Q} = \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{P}}，
:\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{2}}{\partial t}。

第三型生成函數
第三型生成函數G_{3} 的參數是舊廣義動量\mathbf{p}、新廣義坐標\mathbf{Q}與時間：
:G = \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} + G_{3}(\mathbf{p}, \mathbf{Q}, t)
。

以下2N+1方程式設定了變換(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})：
:\mathbf{q} = -\frac{\partial G_{3}}{\partial \mathbf{p}}，
:\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{3}}{\partial \mathbf{Q}}，
:\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{3}}{\partial t}。

第四型生成函數
第四型生成函數G_{4}(\mathbf{p}, \mathbf{P}, t)的參數是舊廣義動量\mathbf{p}、新廣義動量\mathbf{P}與時間：
:G = \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} - \mathbf{Q} \cdot \mathbf{P} + G_{4}(\mathbf{p}, \mathbf{P}, t)。

以下2N+1方程式設定了變換(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})：
:\mathbf{q} = -\frac{\partial G_{4}}{\partial \mathbf{p}}，
:\mathbf{Q} = ~~\frac{\partial G_{4}}{\partial \mathbf{P}}，
:\mathcal{K}= \mathcal{H} + \frac{\partial G_{4}}{\partial t}。

實例1
第一型生成函數有一個特別簡易案例：
:G_{1} = \mathbf{q} \cdot \mathbf{Q}。

生成函數的導數分別為
:\mathbf{p} = ~~\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}} = \mathbf{Q}，
:\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}} = -\mathbf{q}
。

舊的哈密頓量與新的哈密頓量相同：
:\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)=\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)。

實例2
再擧一個比較複雜的例子。讓
:G_{2} \equiv \mathbf{g}(\mathbf{q};\ t) \cdot \mathbf{P}；

這裏，\mathbf{g}是一組N個函數。

答案是一個廣義坐標的點變換，
:\mathbf{Q}=\frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{P}} =\mathbf{g}(\mathbf{q};\ t)。

不變量
正則變換必須滿足哈密頓方程式不變；哈密頓方程式為正則變換的一個不變式。另外，正則變換也有幾個重要的不變量。

辛條件
辛標記提供了一種既簡單，又有效率的標記方法來展示方程式及數學運算。設定一個2N\times 1的豎矩陣\boldsymbol{\xi} :
:\boldsymbol{\xi}^T=[q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots,\ q_N,\ p_1,\ p_2,\ p_3,\ \dots,\ p_N]。

變數向量\boldsymbol{\xi}將\mathbf{q}與\mathbf{p}包裝在一起。這樣，哈密頓方程式可以簡易的表示為
:\dot{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\xi}}；

這裏，\boldsymbol{\Omega}是辛連結矩陣、\mathcal{H}是哈密頓量。

應用辛標記於正則變換，正則坐標會從舊正則坐標\boldsymbol{\xi}改變成新正則坐標\boldsymbol{\Xi}，\boldsymbol{\xi} \rightarrow \boldsymbol{\Xi}；哈密頓量也從舊的哈密頓量\mathcal{H}改變成新的哈密頓量\mathcal{K}，\mathcal{H} \rightarrow \mathcal{K}；但是，哈密頓方程式的形式仍舊維持不變：
:\dot{\boldsymbol{\Xi}}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}；

這裏，\mathcal{K}=\mathcal{H}+\frac{dG}{dt}+\mathbf{P}\dot{\mathbf{Q}} - \mathbf{p}\dot{\mathbf{q}}。

用第一型生成函數G=G_1(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)，則\mathcal{K}=\mathcal{H}+\frac{\partial G_1}{\partial t}。

取\boldsymbol{\Xi}=\boldsymbol{\Xi}(\boldsymbol{\xi},\ t)關於時間t的導數，
:\dot{\boldsymbol{\Xi}}=\mathbf{M}\dot{\boldsymbol{\xi}}+\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial t}；

這裏，\mathbf{M}是亞可比矩陣，M_{ij}=\frac{\partial \Xi_i}{\partial \xi_j}。

代入哈密頓方程式，
:\mathbf{M}\dot{\boldsymbol{\xi}}+\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial t}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}+\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial^2 G_1}{\partial \boldsymbol{\Xi}\ \partial t} ;

假若限制正則變換為設限正則變換，也就是說，顯性地不含時間，解答會簡單許多。假若正則變換顯性地含時間，則仍舊能得到與下述同樣的答案，這是一個很好的偏導數習題。現在，限制這正則變換為設限正則變換，則簡化後的方程式為
:\mathbf{M}\dot{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}。

而\mathcal{H}=\mathcal{H}(\boldsymbol{\xi})，所以，

:\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}=\frac{\partial \boldsymbol{\xi}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\xi}}=(\mathbf{M}^{-1})^T\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\xi}}= - (\mathbf{M}^{-1})^T\boldsymbol{\Omega}\dot{\boldsymbol{\xi}}。

代回前一個方程式，取\dot{\boldsymbol{\xi}}的係數，則可以得到
:\mathbf{M}= - \boldsymbol{\Omega}(\mathbf{M}^{-1})^T\boldsymbol{\Omega}。

經過一番運算，
:\mathbf{M}^T= - \boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}^{-1}\boldsymbol{\Omega}；
:\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}=\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}^{-1}；
可以求出辛條件：
:\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}=\boldsymbol{\Omega}。

在這裏，得到了正則變換的辛條件：一個變換是正則變換，若且唯若辛條件成立。

基本帕松括號不變量
在相空间裏，兩個函數 f(\mathbf{q},\ \mathbf{p}),\ g(\mathbf{q},\ \mathbf{p})關於正則坐標\mathbf{q},\ \mathbf{p}的帕松括號定義為
:\big[f,\ g\big]_{(\mathbf{q},\ \mathbf{p})} = \sum_{i=1}^{N} \left(
\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} -
\frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}}
\right)。

用辛標記，
:\big[f,\ g\big]_{\boldsymbol{\xi}}=
\left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\xi}}。

立刻，可以得到下述關係：
:\big[q_i,\ q_j\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\big[p_i,\ p_j\big]_{\boldsymbol{\xi}}=0，
:\big[q_i,\ p_j\big]_{\boldsymbol{\xi}}= - \big[p_i,\ q_j\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\delta_{ij}。

定義基本帕松括號\big[\boldsymbol{\xi},\ \boldsymbol{\xi}\big]為一個方矩陣，其中，元素ij的值是\big[\xi_i,\ \xi_j\big]。那麼，
:\big[\boldsymbol{\xi},\ \boldsymbol{\xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}。

思考一個變換\boldsymbol{\xi}\rightarrow \boldsymbol{\Xi}。新坐標的基本帕松括號為
:\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\left(\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}。

這兩個正則坐標的亞可比矩陣M是
:M=\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}。

代入前一個方程式，則
:\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}。

假若這變換是正則變換，辛條件\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}=\boldsymbol{\Omega}必須成立，
:\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}。

相反地，假若\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}，則辛條件成立，這變換是正則變換。

所以，一個變換是正則變換，若且唯若基本帕松括號關於任何正則坐標的值不變。當表示基本帕松括號時，我們可以忽略下標符號，直接表示為\big[\boldsymbol{\xi},\ \boldsymbol{\xi}\big]，而認定這基本帕松括號是關於正則坐標計算的值。

帕松括號不變量
思考兩個函数f,\ g對於正則坐標\boldsymbol{\xi}的泊松括號

:\begin{align}\big[f,\ g\big]_{\boldsymbol{\xi}} & =\left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\xi}} \\
& = \left(\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\Xi}} \\
& = \left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\right)^T M^T \boldsymbol{\Omega}M\frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\ \ _\circ \\ \end{align}

假若這變換是正則變換，辛條件\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}=\boldsymbol{\Omega}必須成立，
:\big[f,\ g\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\right)^T\boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\Xi}}=\big[f,\ g\big]_{\boldsymbol{\Xi}}。

所以，任何兩個函數關於正則坐標的帕松括號，都是正則變換的不變量。當表示帕松括號時，可以忽略下標符號，直接表示為\big[f,\ g\big]，而認定這帕松括號是關於正則坐標計算的值。

參閱
*正則變換列表
*正則座標
*帕松括號
*辛矩陣
*辛拓撲
*辛群

參考文獻

• Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).