辛標記

在哈密頓力學裏，因為哈密頓方程式對於廣義坐標 \mathbf{q}\,\! 與廣義動量 \mathbf{p}\,\! 的運算在正負號上並不對稱，必須用兩個方程式來表示：
:\dot{\mathbf{q}}=~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{p}}\,\! ，
:\dot{\mathbf{p}}= - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{q}}\,\! ；
這裏， \mathcal{H}\,\! 是哈密頓量。

辛標記提供了一種既簡單，又有效率的標記方法來展示方程式及數學運算。辛標記的英文名 「Symplectic notation」 最先是德國著名數學家赫尔曼·外尔提出的。 Symplectic 這字原來在希臘文是糾纏或編結的意思；用在這裏主要是形容廣義坐標和廣義動量互相編結在一起的情況。

設定一個 2N\times 1\,\! 的豎矩陣 \boldsymbol{\xi}\,\! :
:\boldsymbol{\xi}^T=[q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots,\ q_N,\ p_1,\ p_2,\ p_3,\ \dots,\ p_N]\,\! ；

此矩陣上半段是廣義坐標、下半段是廣義動量、T\,\! 代表轉置運算。我們也可以將 \boldsymbol{\xi}\,\! 視為一個向量。

定義辛矩陣 \boldsymbol{\Omega}\,\! 為一個斜對稱的 2N\times 2N\,\! 方塊矩陣：

:\boldsymbol{\Omega}=\begin{bmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{1} \\ - \mathbf{1} & \mathbf{0}\end{bmatrix}\,\! ；

這裏，\boldsymbol{\Omega}\,\! 是由 4 個 N\times N\,\! 零矩陣\mathbf{0}與單位矩陣\mathbf{1}組成。

這樣，哈密頓方程式可以簡易的表示為
:\dot{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\,\! 。

正則變換
正則變換是一種正則坐標的改變，而同時維持哈密頓方程式的形式，雖然哈密頓量可能會改變。所以，使用正則變換，正則坐標會從舊正則坐標 \boldsymbol{\xi}\,\! 改變成新正則坐標 \boldsymbol{\Xi} \,\! ， \boldsymbol{\xi} \rightarrow \boldsymbol{\Xi}\,\! ；哈密頓量也從舊的哈密頓量 \mathcal{H}\,\! 改變成新的哈密頓量 \mathcal{K}\,\! ，\mathcal{H} \rightarrow \mathcal{K}\,\! ；但是，哈密頓方程式的形式仍舊維持不變：
:\dot{\boldsymbol{\Xi}}=\boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\,\! 。

帕松括號
在相空间中，用正則座標 \mathbf{q},\ \mathbf{p}\,\! ，两个函数 f(\mathbf{q},\ \mathbf{p}),\ g(\mathbf{q},\ \mathbf{p})\,\! 的泊松括號記作:

:\big[f,g\big]_{\mathbf{q},\ \mathbf{p}} = \sum_{i=1}^{N} \left(
\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} -
\frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}}
\right)\,\! 。

用辛標記，
:\big[f,g\big]_{\boldsymbol{\xi}}=
\left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\xi}}\,\! 。

參閱
*辛拓撲
*辛群
*辛矩陣

參考文獻