非完整系統

在古典力學裏，假如，一個系統有任何約束是非完整約束，則稱此系統為非完整系統。非完整約束不是。完整約束可以用方程式表示為
: f(x_1,\ x_2,\ x_3,\ \dots,\ x_N,\ t)=0；
這裏，f是每一個粒子P_i之位置x_i和時間t的函數。非完整約束不能夠用上述方程式表示。

廣義坐標的轉換
完整約束方程式與位置、時間有關，與速度無關。完整約束方程式可以很簡易地除去指定的變數。假設變數x_d是完整約束函數f_k裏的一個參數，現在指定除去x_d。重新編排上述約束方程式，求出表示x_d的函數g_k：
:x_d=g_k(x_1,\ x_2,\ x_3,\ \dots,\ x_{d-1},\ x_{d+1},\ \dots,\ x_N,\ t)。

將函數g_k代入所有提到x_d的方程式。這樣，可以除去所有指定變數x_d。

假設一個物理系統原本的自由度是N。現在，將h個完整約束作用於此系統。那麼，這系統的自由度減少為m=N - h。可以用m個獨立廣義座標(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_m)來完全描述這系統的運動。座標的轉換方程式可以表示如下：
:x_i=x_i(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_m,\ t)\ ,\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots N。

換句話說，由於非完整約束無法依照上述方法，來除去其所含廣義座標，完全描述非完整系統，所需要的廣義座標數目，大於自由度。

微分形式表示
約束有時可以用微分形式的約束方程式來表示。思考第i個約束的微分形式的約束方程式：
:\sum_j\ c_{ij} dq_j+c_i dt=0；
這裏，c_{ij}，c_{i}分別為微分dq_j與dt的係數。

假若此約束方程式是可積分的。也就是說，有一個函數f_i(q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots,\ q_N,\ t)=0的全微分滿足下述等式：
:df_i=\sum_j\ c_{ij} dq_j+c_i dt=0；

那麼，此約束是完整約束；否則，此約束是非完整約束。因此，所有的完整約束與某些非完整約束可以用微分形式的方程式來表示。不是所有的非完整約束都可以這樣表示。含有廣義速度的非完整約束就不能這樣表示。所以，假若知道一個約束的微分形式的約束方程式，這約束到底是完整約束，還是非完整約束，需要看微分形式的約束方程式能否積分來決定。

半完整系統
表示非完整約束的方程式往往比較複雜。因此，非完整系統也比較難分析，只有簡易一點的非完整系統能用形式論來分析。假如，一個非完整系統的約束可以用以下方程式表示：
: f_i(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_N,\ \dot{q}_1,\ \dot{q}_2,\ \dots,\ \dot{q}_N)=0\ ,\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots n；
則稱此系統為半完整系統；這裏，\dot{q}_j是廣義速度。

半完整系統可以用拉格朗日形式論來分析。更具體地說，分析半完整系統必須用到拉格朗日乘子\lambda_i
:\sum_{i=1}^n\ \lambda_i f_i=0；
這裏，\lambda_i=\lambda_i(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_N,\ \dot{q}_1,\ \dot{q}_2,\ \dots,\ \dot{q}_N,\ t)是未知函數。

假設哈密頓原理成立，則下述方程式成立：
:\delta\int_{t_1}^{t_2}\ L\ dt=0；
這裏，L是拉格朗日量，t_1 與t_2分別為積分的時間下限與上限。經過變分法運算，可以得到方程式
:\int_{t_1}^{t_2}\ \sum_j\ \left(\frac{\partial L}{\partial q_j} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\right)\right)\delta q_j \ dt=0。

由於這N個廣義座標中，仍舊有n個不獨立廣義座標，不能將拉格朗日方程式提取出來；必須加入拉格朗日乘子項目：
:\delta\int_{t_1}^{t_2}\ \left(L+\sum_{i=1}^n\ \lambda_i f_i\right)\ dt=0。

經過變分法運算，可以得到方程式
:\int_{t_1}^{t_2}\ \sum_j\ \left(\frac{\partial L}{\partial q_j} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\right) + \mathcal{F}_j\right)\delta q_j \ dt=0 ;
這裏，\mathcal{F}_j是廣義力的j分量：
:\mathcal{F}_j=\sum_i\ \left[\frac{\partial(\lambda_i f_i)}{\partial q_j} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial (\lambda_i f_i)}{\partial \dot{q}_j}\right)\right]。

雖然還有n個不獨立廣義座標，仍舊可以調整n加入的拉格朗日乘子，使總和公式內的每一個虛位移\delta q_j的係數都等於0。因此，
:\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_j}=\mathcal{F}_j。

這N個方程式加上n個約束方程式，給予了N+n個方程式來解N個未知廣義座標與n個拉格朗日乘子。

實例
非完整系統至少存在於以下三個狀況：
#物體在做滾動運動。
#系統的約束包括不等式。
#系統的約束與速度有關（例如普法夫約束）。

參閱
*拉格朗日力學
*哈密頓力學
*完整系統
*定常系統
*單演系統
*保守系統
*平行停車問題
*落貓問題
*自行車及摩托車的動力學

參考文獻
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