廣義動量

拉格朗日力學與哈密頓力學時常涉及廣義動量。這是因為採用廣義坐標有許多優點。而廣義動量是正則共軛於廣義坐標的物理量，又稱為共軛動量。

假設一個物理系統的廣義坐標是 (q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots,\ q_N)\,\! ，則廣義速度為 (\dot{q}_1,\ \dot{q}_2,\ \dot{q}_3,\ \dots,\ \dot{q}_N)\,\! 。表示廣義動量為 (p_1,\ p_2,\ p_3,\ \dots,\ p_N)\,\! 。定義廣義動量為拉格朗日量 \mathcal{L}\,\! 隨廣義速度的導數：
:p_{k} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot q_{k}}\,\! ；

廣義動量守恆定律
如果一個物理系統是單演系統與完整系統，那麼，哈密頓原理保證拉格朗日方程式的成立：
:\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_k}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_k}=0\,\! 。

假若，\mathcal{L}\,\! 不顯含廣義坐標 q_{k}\,\! ：

: \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_{k}}=0\,\! ，

則廣義動量 p_{k}\,\! 是常數。在此種狀況，坐標 q_{k}\,\! 稱為循環坐標，或可略坐標。舉例而言，如果我們用圓柱坐標 (r,\ \theta,\ h)\,\! 來描述一個粒子的運動，而 \mathcal{L}\,\! 與 \theta\,\! 無關，則廣義動量是守恆的角動量。

參閱
*拉格朗日力學
*哈密頓力學
*廣義力
*正則變換