達朗貝爾原理

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達朗貝爾原理（）是因其發現者法國物理學家與數學家讓·達朗貝爾而命名。達朗貝爾原理闡明，對於任意物理系統，所有慣性力或施加的外力，經過符合約束條件的虛位移，所作的虛功的總和等於零：
:\sum_{i}\ (\mathbf{F}_{i}+\mathbf{I}_i)\cdot \delta \mathbf{r}_i = 0\,\!；
其中，\mathbf{I}_i= - m_i\mathbf{a}_i\,\!是粒子P_i\,\!感受到的慣性力，m_i\,\!和\mathbf{a}_i\,\!分別是粒子P_i\,\!的質量和加速度，\mathbf{F}_i\,\!是施加於粒子P_i\,\!的外力（不包括約束力）、\delta \mathbf{r}_i\,\!是符合系統約束的虛位移。

靜力學的虛功原理在動力學的版本是達朗貝爾原理。假若一個物理系統的每一個約束條件都只約束位置或時間，而不約束速度，則稱此物理系統為完整系統。達朗貝爾原理比哈密頓原理的適用範圍更廣闊，可以用於不僅是完整系統。

因為達朗貝爾原理，在一個動力系統裏，約束力所作的虛功自動抵消，也就是說，不需要顧慮約束力所作的虛功。

導論
思考由一群粒子構成的一個物理系統。按照牛頓運動定律，

:\mathbf{F}_{i}^{(T)} = m_i \mathbf{a}_i\,\!；

其中，\mathbf{F}_{i}^{(T)}\,\!是所有施加於粒子P_i\,\!的作用力的合力（包括約束力）。

將方程式右邊的加速度項目移至左邊，
:\mathbf{F}_{i}^{(T)} - m_i \mathbf{a}_i = \mathbf 0\,\!。

達朗貝爾建議將這加速度項目視為一種因為粒子的運動而產生的作用力，稱為慣性力：
:\mathbf{I}_i= - m_i \mathbf{a}_i\,\!。

這樣，施加於每一個粒子的作用力（包括慣性力）的向量和皆等於零：
:\mathbf{F}_{i}^{(T)}+\mathbf{I}_i= \mathbf 0\,\!。

採用達朗貝爾這絕頂聰明的建議，這系統內所有的作用力的向量和變為零，也就是說，這系統達到平衡狀態。假若動力系統的動態平衡可以視為靜力系統的靜態平衡，則所有靜力系統內有關於平衡狀態的理論都可以適用於動力系統，而這動力系統的運動問題的一大部份也可以當作靜力系統的平衡問題來解析。因此，當然也可以將靜力學的虛功原理搬遷至動力學裏。

對於每一個粒子，經過虛位移\delta \mathbf{r}_i\,\!，其向量和所作的虛功等於零：
:\delta W_i =(\mathbf{F}_{i}^{(T)}+\mathbf{I}_i)\cdot \delta \mathbf{r}_i= 0\,\!。

作用於每一個粒子的虛功的總和\delta W\,\!等於零：
:\delta W= \sum_{i} \delta W_i= \sum_{i}(\mathbf {F}_{i}^{(T)}+\mathbf{I}_i )\cdot \delta \mathbf r_i=0\,\!。

將作用於每一個粒子上的合力\mathbf{F}_{i}^{(T)}\,\!，細分為外力\mathbf{F}_i\,\!與約束力\mathbf{C}_i：
:\delta W = \sum_{i}\ \mathbf{F}_{i} \cdot \delta \mathbf{r}_i + \sum_{i}\ \mathbf{C}_{i} \cdot \delta \mathbf{r}_i +\sum_{i}\mathbf{I}_i\cdot \delta \mathbf{r}_i = 0\,\!。

假設，每一個約束力，因為虛位移，所做的虛功的總和是零。則約束力的項目可以從方程式內移去，達朗貝爾原理成立：
:\delta W = \sum_{i}( \mathbf {F}_{i}+\mathbf{I}_i )\cdot \delta \mathbf r_i = 0\,\!。（1）

現在，總和內的每一個單獨\mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i\,\!很可能不等於零。

定義有效力\mathbf{F}_i^{eff}\,\!為外力加慣性力：
:\mathbf{F}_i^{eff}=\mathbf {F}_{i}+\mathbf{I}_i\,\!。

達朗貝爾原理又可表達為：對於任意物理系統，所有有效力，經過符合約束條件的虛位移，所作的虛功的總合等於零，
:\delta W = \sum_{i}\mathbf{F}_i^{eff}\cdot \delta \mathbf r_i = 0\,\!。

注意到這推論裏的約束力假設。在這裏，約束力就是牛頓第三定律的反作用力。因此，可以稱此假設為反作用力的虛功假設：所有反作用力所做的符合約束條件的虛功，其總合是零。這是分析力學額外設立的假設，無法從牛頓運動定律推導出來。這原理可以幫助分析正在運動中的某連桿所感受到的作用力。

請注意，慣性力必須作用於質心；而慣性力矩是力偶矩，可以作用於物體的任何一位置。靠著達朗貝爾慣性力原理，動力系統可以變為像靜力系統一樣的解析。這方法的優點是，在等價的靜力系統裏，可以選擇任何一點（不只是質心）來計算力矩。這時常會導至較簡易的運算。因為，如果選擇出正確的力矩作用點，在計算力矩時，可以忽略許多作用力（這些作用力與選擇點同直線）。

剛體二維平面運動實例
假設施加作用力或力矩於一個平面剛體，則此剛體會在xy-平面上呈平移運動或旋轉運動，其慣性力\mathbf{I}\,\!與慣性力矩\mathbf{M}\,\!的方程式分別為
:\mathbf{I}= - m \mathbf{a}\,\!、
:\mathbf{M}= - \boldsymbol{\mathcal{I}}\alpha\,\!。

假設，除了作用於剛體的外力以外，將慣性力視為作用力，將慣性力矩視為力矩，這系統就等價於靜力系統。因此，靜力平衡方程式成立：
:\sum_i F_{xi} = 0\,\!、
:\sum_i F_{yi} = 0\,\!、
:\sum_i M_i = 0\,\!。

這方法的優點是，\sum_i M_i\,\!乃是對於任意點的力矩的總合；而直接應用牛頓運動定律的方法有一個額外的要求：旋轉運動方程式只能選擇在質心計算。

參考文獻