圆丛

在数学中，（定向）圆丛（）是一个纤维是圆周 \mathbf{S}^1 的定向纤维丛，或更准确地，是一个主 U(1)-丛。它同伦等价于复线丛。在物理学中，圆丛是电磁学自然的几何背景。圆丛是球丛的一个特例。

与电动力学的关系
麦克斯韦方程对应于一个用 2-形式 F 表示的电磁场，满足 \pi^F 上同调于零。特别地，总存在一个 1-形式 A* 使得：

:\pi^*F = dA.

给定 M 上一个线丛 P 及其投影

:\pi:P\to M,

我们有同态

:\pi^*:H^2(M,\mathbb{Z}) \to H^2(P,\mathbb{Z}),

这里 \pi^* 是拉回。每个同态对应一个狄拉克单极（）；整系数上同调群对应于电荷的量子化。

例子
霍普夫纤维化是一类非平凡圆丛。

分类
流形 M 上圆丛的同构类一一对应于 M 的第二整上同调群 H^2(M,\mathbb{Z})。这个同构由欧拉类实现。

等价地，同构类对应于从 M 到无穷维复射影空间 CP^\infty 映射的同伦类，这是 U(1) 的分类空间。参见U(n)的分类空间。

用同伦理论的话说，周圆与去掉原点的复平面是等价的。利用配丛构造，圆丛等价于光滑复线丛因为两者的转移函数都在 C* 中。在此情形，圆丛的欧拉类或实二维平面丛与线丛的第一陈类相同。

又见：王序列（王宪忠）

参考文献
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