纤维丛

纖維-{}-叢（ ），在数学上，特别是在拓扑学中，是一个局部看来像直积空间，但是整体可能有不同的结构。每个纤维丛對應一个连续满射

\pi :E\rightarrow B

E和乘積空間B\times F的局部類似性可以用映射 \pi 來說明。也就是說：在每個E的局部空間 U，都存在一個相同的F（F稱作纖維空間），使得 \pi 限制在 U 上時　與直积空间B\times F的投影P:B\times F\mapsto B,\quad P(b, f)=b　相似。（通常會用此滿射：\pi : E\rightarrow B來表示一個纖維叢，而忽略F）

如果E=B\times F，也就是一个可以整体上等於乘積空間的丛叫做平凡丛（trivial bundle）。

纤维丛扩展了向量丛(vector bundle)，向量丛的主要实例就是流形的切丛（tangent bundle）。他们在微分拓扑和微分几何领域有着重要的作用。他们也是规范场论的基本概念。

正式定義
一个纤维丛由四元组（E, B, \pi, F）组成，其中E, B, F是拓扑空间而\pi : E\rightarrow B是一个连续满射，满足下面给出的局部平凡（local triviality）条件。B称为丛的基空间（base space），E称为总空间（total space），而F称为纤维（fiber）。映射\pi称为投影映射.下面我们假定基空间B是连通的。

我们要求对于B中的每个點x，存在一个在B中 包含x的开邻域U，並有一個同胚映射\varphi : \pi^{-1} (U) \rightarrow U\times F (顯然U\times F是一個乘積空間) ，\varphi並且要滿足 \textstyle \pi(y)=\operatorname{proj}_1\circ\phi(y),\,\forall y\in\pi^{-1}(U)，也就是下圖是可交换的：

其中\operatorname{proj}_1: U\times F\rightarrow U是自然投影而\varphi : \pi^{-1} (U) \rightarrow U\times F是一个同胚（這裡的局部平凡條件有些書會定義為 \textstyle x=\pi\circ\varphi^{-1}(x, f),\,\forall x\in U, f\in F）。所有\{ (U_i, \varphi_i) \}的集合称为丛的局部平凡化。

对于B中每點p，原象（preimage）\pi^{-1}(p)和F同胚并称为點p上的纤维。一个纤维丛（E, B, \pi, F）经常记为
:F \longrightarrow E \ \xrightarrow{\, \ \pi \ } \ B
以引入一个空间的短正合列。注意每个纖維叢\pi : E\rightarrow B都是一个开映射，因为积空间的投影是开映射。所以B有由映射\pi决定的商拓扑(quotient topology).

一个光滑纤维丛是一个在光滑流形的范畴内的纤维丛。也就是，E, B, F都必须是光滑流形且所有上面用到的函数都必须是光滑映射。

例子
令E=B\times F并令\pi : E\rightarrow B为对第一个因子的投影，则E是B上的丛。这里E不仅是局部的积而且是整体的积。任何这样的纤维丛称为平凡丛。

最简单的非平凡丛的例子可能要算莫比乌斯带（Möbius strip）。莫比乌斯带是一个以圆为基空间B并以线段为纤维F的丛。对于一点x \in B的邻域是一段圆弧；在图中，就是其中一个方块的长。原象\pi^{-1}(U)在图中是个（有些扭转的）切片，4个方块宽一个方块长。同胚\varphi把U的原象映到柱面的一块：弯曲但不扭转。

相应的平凡丛B\times F看起来像一个圆柱，但是莫比乌斯带有个整体上的扭转。注意这个扭转只有整体上才能看出来；局部看来莫比乌斯带和圆柱完全一样（在其中任何一个竖直的切一刀会产生同样的空间）。

一个类似的非平凡丛是克莱因瓶，它可以看作是一个“扭转”的圆在另一个圆上的丛。相应的平凡丛是一个环，S^1\times S^1。

一个覆盖空间是一个以离散空间为纤维的纤维丛。

纤维丛的一个特例，叫做向量丛,是那些纤维为向量空间的丛（要成为一个向量丛，丛的结构群—见下面—必须是一个线性群）。向量丛的重要实例包括光滑流形的切丛和余切丛。

另一个纤维丛的特例叫做主丛。更多的例子参看该条目。

一个球丛是一个纤维为n維球面的纤维丛。给定一个有度量的向量丛（例如黎曼流形的切丛），可以构造一个相应的单位球丛，其在一点x的纤维是所有E_x的单位向量的集合.

截面
纤维丛的截面（section或者cross section）是一个连续映射f: B\rightarrow E使得\pi (f(x))=x对于所有B中的x成立。因为丛通常没有全局有定义的截面，理论的一个重要作用就是检验和证明他们的存在性。这导致了代数拓扑的示性类理论。

截面经常只被局部的定义（特别是当全局截面不存在时）。纤维丛的局部截面是一个连续映射f:U\rightarrow E其中U是一个B中的开集而\pi (f(x))=x对所有U中的x成立。若(U,\varphi)是一个局部平凡化图，则局部截面在U上总是存在的。这种截面和连续映射U\rightarrow F有1-1对应。截面的集合组成一个层（sheaf）。

结构群和转移函数
纤维丛经常有一个对称群描述重叠的图之间的相容条件。特别的，令G为一个拓扑群，它连续的从左边作用在纤维空间F上。不失一般性的，我们可以要求G有效的作用在F上，以便把它看成是F的同胚群。纖維叢的一个*G-图册*（E, B, \pi, F）是之前定義過的局部平凡化*並且滿足：对任何两个重叠的局部平凡化中的元素也就是图(U_i, \varphi_i)和(U_j, \varphi_j)且 U_i\cap U_j \neq \emptyset，則函数
:\varphi_i\varphi_j^{-1} : (U_i \cap U_j) \times F \to (U_i \cap U_j) \times F
是由以下方式给出：
:\varphi_i\varphi_j^{-1}(x, \xi) = (x, t_{ij}(x)\xi),\quad \forall x\in U_i \cap U_j, \xi\in F
其中 t_{ij} : U_i \cap U_j \to G 是一个称为转移函数（transition function）的连续映射。两个G-圖冊是等價的如果他们的聯集也是G-圖冊。一个*G-丛是有G-圖冊等价类的纤维丛。群G稱为该丛的结构群（structure group）。**

在光滑范畴中，一个G-丛是一个光滑纤维丛，其中G是一个李群而相应的在F上的作用是光滑的并且变换函数都是光滑映射。

转移函数t_{ij}满足以下条件
#t_{ii}(x) = 1
#t_{ij}(x) = t_{ji}(x)^{-1}
#t_{ik}(x) = t_{ij}(x)t_{jk}(x)
第三个条件用到三個相交的 U_i \cap U_j \cap U_k上叫做上链条件（cocycle condition，见Čech上同调）。

一个主丛是一个G-丛，其纤维可以认为是G本身，并且有一个在全空间上的G的右作用保持纤维不变。

参见

• 向量丛
• 主丛
• 拉回丛（pullback bundle）
• 纤维化
• 覆盖映射
• 规范场论

外部链接
*[https://web.archive.org/web/20040808115056/http://planetmath.org/encyclopedia/FiberBundle.html PlanetMath: Fiber Bundle]
*[http://mathworld.wolfram.com/FiberBundle.html MathWorld: Fiber Bundle]

参考
Norman Steenrod, The Topology of Fiber Bundles*, Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6.
David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles*, Addison-Wesley publishing, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7. See chapter one.