良覆盖
在数学中，拓扑空间 X 的一个覆盖是一个开集族使得 X 是这些开集的并集。在代数拓扑中，一个覆盖被称为 良覆盖 若其中的开集以及这些开集的所有有限交 U_{\alpha_1 \ldots \alpha_n} = U_{\alpha_1 \ldots \alpha_{n-1}} \cap U_{\alpha_n} 都是可收缩空间。 良覆盖的概念最先由引入到微分流形上，并要求 U_{\alpha_1 \ldots \alpha_n} 微分同…
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同调论
数学中，同调论（）是拓扑空间“圈的同调”之直觉几何想法的公理化研究。它可以宽泛地定义为研究拓扑空间的同调理论。 简单解释 直觉上，同调是取一个等价关系，如果链 C - D 是一个高一维链的边界，则链 C 与 D 是同调的。最简单的例子是在图论中，有 C 和 D 两组顶点集，考虑到从 P到 Q 的有向边 E 的边缘是 Q-P。从 D 到 C 的一些边的集合，每一个与前一个相连，是一个同调。 一般的，一个 k-链视为形式组合 :\sum a…
映射锥
在数学，特别是同伦论中，映射锥（）是一个拓扑构造 C_f。它也称为同伦上纤维（），也记成 Cf . 定义 给定映射 f\colon X \to Y，映射锥 C_f 定义为 (X \times I) \sqcup Y 关于等价关系 (x, 0) \sim (x',0)\,, (x,1) \sim f(x)\, 的商拓扑空间。这里 I 表示带标准拓扑的单位区间 [0,1]。注意有些人（比如乔·彼得·梅）使用相反的约定，交换 0 与 1 的地…
映射柱
在数学的代数拓扑分支中，拓扑空间 X 与 Y 之间函数 f 的映射柱（）是将任何一个映射用一个在如下意义下等价的上纤维化代替的方法： 给定映射 f\colon X \to Y，映射柱由一个空间 M_f 与一个上纤维化 \tilde f\colon X \to M_f 以及满同伦等价 M_f \to Y（事实上，Y 是M_f 的形变收缩）组成，使得复合 X \to M_f \to Y 等于 f。 这样空间 Y 被一个同伦等价的空间M_f …
割補理論
在數學中，尤其是拓撲學，割補理論(surgery theory)是一種用於從另一流形對象產生一個有限維流形、並在「控制」之下的理論方法。其最初是用於處理光滑流形，之後陸續被應用於分段線性流形以及拓撲流形等等。 概念 所謂的「割補」是指將流形的某一部份「割」下，再從其它流形找一部分將其沿著邊界或割緣「補」上。它與柄體分解(handlebody decomposition)的概念相似而不盡相同，因為它主要是用於研究及分類大於三維的流形。 參…
三維球面
（meridians）（藍色）以及超子午線（hypermeridians）（綠色）的立體投影法（Stereographic projection）。 因為立體投影法的共形特性，這些曲線彼此在交點上彼此正交（圖中黃色點），如同在四維空間中一樣。所有曲線都是圓；交會在的曲線具有無限大的半徑（亦即：直線）。]] 數學中，三維球面（英文常寫作3-sphere）是球面在高維空間中的類比客體。它由四維歐幾里得空間中與一固定中心點等距離的所有點所組成…
覆疊空間
在拓撲學中，拓撲空間X的覆疊空間是一對資料(Y,p)，其中Y是拓撲空間，p: Y \to X是連續的滿射，並存在X的一組開覆盖 :X = \bigcup_{U\in \mathcal{U}} U 使得對每個U \in \mathcal{U}，存在一個離散拓撲空間F及同胚：\phi_U: U \times F \simeq p^{-1}(U)，而且p \circ \phi_U: U \times F \to U是對第一個坐標的投影。 滿足…
旋量丛
在数学与物理学中，旋量是与物理自旋理论以及数学中克利福德代数密切相关的某种几何实体，在某种意义上是一种扭曲的张量。从几何观点来看，所有旋量构成旋量丛（）。 给定一个可微流形 M，配有一个符号为 (p,q) 的度量，M 上一个旋量丛是 M 上向量丛使其纤维是 :Spin(p,q) 的一个旋量表示。这里 Spin(p,q) 是特殊正交群 SO(p,q) 单位分支的二重覆盖。 旋量丛由向量丛 V 上继承一个联络（参见自旋联络）。 当 :p +…
LS范畴
Lyusternik-Schnirelmann畴数(category)，又称LS畴数，是拓扑空间的一个拓扑不变量，定义为该空间可以分解成可缩开覆盖的最小基数。例如，单位圆的LS畴数就是2。一般来说，LS畴数不容易计算。 LS畴数给出了该空间上函数临界点个数的下界。同时，LS畴数又与同调论联系紧密，特别是与上积长度（cup length）有着重要的关系。
截面 (纤维丛)
的一个截面是一个向量场。]] 在数学之拓扑学领域中，拓扑空间 B 上纤维丛 π: E → B 的一个截面或横截面（），是一个连续映射 s : B → E，使得对 x 属于 B 有 π(s(x))=x。 从函数图像开始 截面是函数图像概念的某种推广。一个函数 g : X → Y 的图像可以等价于取值为 X 与 Y 的笛卡儿积的一个函数： : f(x) = (x,g(x)) \in E,\quad f:X\to E.\, 一个截面是什么是一…
塞尔谱序列
在数学中，塞尔谱序列（），有时为了纪念让·勒雷早先的工作称为勒雷-塞尔谱序列（），是代数拓扑学中的基本工具。它用同调代数的语言将一个（塞尔）纤维化的全空间 E 的奇异（上）同调表示为底空间 B 和纤维 F 的（上）同调。此结论属于让-皮埃尔·塞尔的博士论文。 表述 令 f : E \rightarrow B 是拓扑空间的一个塞尔纤维化，F 是其纤维。结论用谱序列和标准记号表示。在没有简化假设时，记号必须正确地理解。 上同调谱序列 塞尔上…
重心重分
在几何中，重心重分是将任意凸多边形划分为三角形，将凸多面体划分为四面体，或更一般的，将凸多胞形划分为单纯形的标准方法。 在拓扑学中，用于胞腔复形的类似操作也称重心重分。 该操作广泛应用于数学和几何建模。
配边
在数学中，配边（英文：cobordism 来自法文的 *bord）是紧流形的等价关系。它使用边界的拓扑概念。若两个流形M和N的不交并是另一个流形W的边界，那么M和N这两个流形是配边的。此外M和N的配边是W： \partial W=M \sqcup N. 配边缩写为 (W; M, N)。M的配边类（cobordism class）*是与M配边的所有流形的集合。 例子 最简单的例子是区间 I =[0,1]。这是 {0}和{1}这两个0-维流…
格尔斯滕哈伯代数
格爾斯滕哈伯代数是Gerstenhaber在研究结合代数的形变时发现的。一个结合代数的形变跟它的Hochschild上复形有密切的关系，Gerstenhaber证明，Hochschild上复形实际上形成一个微分分次李代数，并且这个微分分次李代数完全控制了该结合代数的形变。Gerstenhaber的研究受到小平邦彦（Kodaira）-Spencer关于流形复结构形变研究的启发，这些思想后来由Deligne和Kontsevich等人加以系统…
单纯范畴
数学裡，单纯范畴（）或序数范畴（）是范畴论中用来定义单纯与余单纯对象的一个构造。 正式定义 单纯范畴通常记作 \Delta，有时也写成 Ord。这个范畴有多个等价的描述。\Delta 可以描述为对象为有限序数（视为全序集），态射为保序函数范畴。这个范畴由余面映射与余退化映射生成，对应于插入或删去顺序中的元素，这些映射的关系参见单纯集合。 单纯对象是 \Delta 上的一个预层，即从 \Delta 到另一个范畴的反变函子。例如，单纯集合是…
拟同构
拟同构是同调代数中的一个概念。链复形间的态射A_\bullet\to B_\bullet被称为拟同构，如果它所诱导的所有同调群间的同态H_n(A_\bullet)\to H_n(B_\bullet)都是同构。上链复形间的态射A^\bullet\to B^\bullet被称为拟同构，如果它所诱导的所有上同调群间的同态H^n(A^\bullet)\to H^n(B^\bullet)都是同构。 拟同构给出导出范畴中的同构。