单纯复形
单纯复形（）是拓扑学中的概念，指由点、线段、三角形等单纯形“粘合”而得的拓扑对象。单纯复形不应当与范畴同伦论中的单纯集合混淆。 定义 单纯复形\mathcal{K}是由一组单纯形构成的集合，并且须要满足下列条件： #\mathcal{K}的每一个单纯形的面都是\mathcal{K}中的元素。 #\mathcal{K}中任何两个元素\sigma_1 , \sigma_2 \; \in \mathcal{K}的交集是它们公有的一个面。 需要…
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紐結理論
]] 纽结理论 （） 是拓扑学的一个分支，研究纽结的拓扑学特性。 历史 结绳纪事由来远古，但从数学上研究纽结，始于德国数学家卡爾·弗里德里希·高斯，高斯研究电磁场的性质，认为与纽结有关。1867年开尔文勋爵认为原子是以太漩涡的纽结，可用不同种类的纽结将原子分类，并用来解释为何原子的吸收光谱呈现不连续的现象。 苏格兰理论物理学家用多年时间研究出纽结分类表，相信他正在创造一个元素表。1887年邁克生-莫立實驗}-证明“以太”不存在，“以太漩…
欧拉示性数
在代数拓扑中，欧拉示性数（）是一个拓扑不变量，对于一大类拓扑空间有定义。它通常记作\chi。 二维拓扑多面体的欧拉示性数可以用以下公式计算： :\chi=F-E+V 其中、和分别是点、边和面的个数。特别的，对于所有和一个球面同胚的多面体，我们有 :\chi(S^2)=F-E+V=2 。 例如，对于立方体，我们有6 − 12 + 8 = 2，而对于四面体我们有4 − 6 + 4 = 2。 刚才的公式也叫做欧拉公式。该公式最早由法国数学家笛…
层 (数学)
数学中，层（sheaf，或译束、捆）是一种系统地追踪数据的工具。数据附着在拓扑空间的开集上，局部定义于开集本身。例如，数据可以是定义在开集上的连续函数环。这些数据的行为是良好的：可限制在更小的开集中，而且（直观地说）每个数据都是其组成数据之和。这样，它们是研究有局部本质的实体的全局行为的自然工具，例如开集，解析函数，流形，等等。 研究层的数学领域叫做层论（sheaf theory）。 从概念上讲，层是比较一般、抽象的数学对象，其正确定义…
链 (代数拓扑)
在代数拓扑学中，一个*q维链*（q-chain)是一个复形K全体定向q单纯形所生成的自由阿貝爾群Cq(K)中的元素。 定义 对于一个单纯形K，K的q维链群Cq(K)是由一个复形K的全体定向q单纯形所生成的自由阿貝爾群，即C_q(K)=\{\sum_{i=1}^{s} \lambda_i \sigma_i:\lambda_i \in \mathbb{Z} \}，其中\sigma_i是K的定向q单纯形，其中，若\sigma和\tau是两个同…
逆丛
数学中，纤维丛的逆丛 是其关于惠特尼和的逆。 设E \rightarrow M为纤维丛。若它与丛E' \rightarrow M的惠特尼和是平凡丛，即若 : E \oplus E' \cong M \times \mathbb{R}^n, 则称丛E是E的逆丛。紧豪斯多夫基上的向量丛都有逆丛。 参考文献
亚历山大对偶
在数学中，亚历山大对偶是指由 J.W. Alexander于1915年的研究中所发现一种对偶理论。它在随后由帕维尔·亚历山德罗夫和列夫·庞特里亚金等人做了进一步发展。 对于欧氏空间、球面或其他的某些流形的一个子空间 X，亚历山大对偶可以用于求 X^{c} 的同调群。亚历山大对偶是Spanier-Whitehead对偶的一种推广。 定理（亚历山大对偶） 考虑 n 维球面 S^{n} 的一个紧子空间X，若其局部可缩，则有： \tilde{H…
组合拓扑
组合拓扑是代数拓扑的一个较早名称，可追溯到空间的拓扑不变量（如贝蒂数）被视为从空间的组合分解（如分解为单纯复形）中导出的时期。在单纯逼近定理得到证明后，这种方法变得更加严谨。 名称的改变反映了将循环-模-便捷等拓扑类明确组织为阿贝尔群的举动，这种观点通常归功于埃米·诺特，名称的改变可能反映了她的影响。这一转变也归功于受诺特影响的海因茨·霍普夫的工作，及独立定义同调的Leopold Vietoris和Walther Mayer。 尼古拉·…
上同调运算
数学中，上同调运算自1950年代起称为代数拓扑，特别是同伦论的核心，其简单定义是：若F是定义上同调论的函子，则上同调运算应是F到自身的自然变换。自始至终有两个基本点： 运算可用组合方法研究； 运算效果是产生有趣的双交换子理论。 这些研究来自庞特里亚金、波斯尼科夫、诺曼·斯廷罗德等人的研究，他们首次定义了模2系数情形下奇异上同调的庞特里亚金平方、波斯尼科夫平方、斯廷罗德根运算。其中的组合方面是在上链层面上对自然对角映射失效的表述。运算的斯…
單連通
單連通是拓撲學中拓撲空間的一種性質。直觀地說，單連通空間中所有閉曲線都能連續地收縮至一點。此性質可以由空間的基本群刻劃。拓扑空间的基本群是一个空间是否为单连通的标志：当且仅当空间的基本群是當然群时，道路连通的拓扑空间是单连通的。 定義 考慮道路連通的拓撲空間X。若拓撲空間X 中的任意閉曲線皆同倫等價於一個點，則稱該空間為單連通的。 換言之， 拓撲空間X 是单连通的充要条件为：對任意連續映射 : \gamma: \mathrm{S}^1 …
非阿贝尔代数拓扑
非阿贝尔代数拓扑是代数拓扑的一个分支，主要研究不可交换的高维代数。 许多高维代数结构都不可交换，因此对它们的研究是非阿贝尔范畴论与非阿贝尔代数拓扑（NAAT）的重要组成部分，这种多维代数结构发展了基本群的非阿贝尔性质，在更精确的意义上，它们“比群更不阿贝尔”。这些不可交换结构，或更具体地说，非阿贝尔结构要比经典代数拓扑中常见的已知同调、同伦群更准确地反映高维的集合复杂性。 非阿贝尔代数拓扑的一个重要部分详细探讨了同调群和过滤空间。不可交…
范畴化
数学中，范畴化是将集合论的定理替换为范畴论类似物的过程。成功的范畴化会将集合替换为范畴，将函数替换为函子，将方程替换为自然变换或函子。 范畴化的逆叫做“去范畴化”，是将范畴内同构的物件在态射意义下视同相等的系统化过程。去范畴化往往比范畴化更简单。李代数的表示论和特定代数上的模都是这种研究的合适物件。有几种对这样的模进行范畴化的框架，如所谓（弱）阿贝尔范畴。 范畴化和去范畴化不是精确的数学过程，而是一类可能的相似物。这种过程与“广义化”之…
德拉姆上同调
数学上，德拉姆上同调（de Rham cohomology）是同时属于代数拓扑和微分拓扑的工具。它能够以一种特别适合计算和用具体的上同调类的方式表达关于光滑流形的基本拓扑信息。它是基于有特定属性的微分形式的存在性的上同调理论。它以不同的确定的意义对偶于奇异同调，以及亚历山大-斯潘尼尔上同调。 定义 任何光滑流形M上的光滑微分k-形式在加法之下形成一个交换群(实际上也是一个实向量空间，称为 :Ωk(M) 外导数 d 给了以下的映射 :d:…
波斯尼科夫塔
在代数拓扑和同伦论中，波斯尼科夫塔（或称：波斯尼科夫系统）是关于CW复形在同伦意义下进行分解的一种方法。形象地说，给定一个连通的CW复形\;X\;，\;X\;可以分解成一系列CW复形的逼近，使得每一个复形都是它前面一个复形和一个Eilenberg-McLane空间(Eilenberg-McLance space)的纤维丛乘积。 具体地说，我们有如下定理： 定理: 任给一个连通的CW复形\;X\;，记其\;q\;阶同伦群为\;\pi_q\…
博苏克-乌拉姆定理
博苏克-乌拉姆定理表明，任何一个从n维球面到欧几里得n维空间的连续函数，都一定把某一对对蹠点映射到同一个点。 n = 2的情形，就是说在地球的表面上，一定存在一对对蹠点，它们的温度和气压相同。这里假设了温度和气压的变化是连续的。 这个定理首先由乌拉姆猜想。1933年，Karol Borsuk证明了该定理。从博苏克-乌拉姆定理可以推出布劳威尔不动点定理。 一个关于博苏克-乌拉姆定理的更强的陈述，是每一个保持对蹠点的映射 :f:\mathb…
K-理论
在数学中，K-理论（）是多个领域使用的一个工具。在代数拓扑中，它是一种异常上同调，称为拓扑K-理论；在代数与代数几何中，称之为代数K-理论；在算子代数中也有诸多应用。它导致了一类K-函子构造，K-函子包含了有用、却难以计算的信息。 在物理学中，K-理论特别是出现在第二型弦理論，其中猜测它们可分类D-膜、以及广义复流形上某些旋量。具体细节参见K-理论 (物理)。 早期历史 这个课题最早由亚历山大·格罗滕迪克1957年发现，名字取自德文“”…
实射影空间
数学中，实射影空间（），记作 RPn，是 Rn+1 中的直线组成的射影空间。它是一个 n 维紧光滑流形，也是格拉斯曼流形的一个特例。 构造 与所有射影空间一样，RPn 是通过取 Rn+1 − {0} 在等价关系 x ∼ λx 对所有实数 λ ≠ 0 下的商空间。对所有 x 属于 Rn+1 − {0}，总可找到一个 λ 使得t λx 的范数为 1。恰好有相差一个符号的两个这样的 λ。 故 RPn 也可通过将 Rn+1 中单位 n-维球面 …
拓扑K-理论
数学中，拓扑 K-理论（）是代数拓扑的一个分支。它是研究一般拓扑空间上向量丛时发现的，所用的是由亚历山大·格罗滕迪克引入的现在称为（一般）K-理论的想法。早期拓扑 K-理论的工作归于迈克尔·阿蒂亚与弗里德里希·希策布鲁赫。 定义 拓扑 K-理论是紧豪斯多夫空间范畴的一种广义上同调理论，将一个空间上的向量丛按稳定等价分类（向量丛称为稳定等价的当且仅当同构的向量丛由向量丛与平凡向量丛的惠特尼和生成）。设 X 是一个紧豪斯多夫空间而 k=\m…
纤维化 (数学)
数学中，尤其是代数拓扑，一个纤维化（）是一个连续映射 :p:E\to B,\, 对任何空间满足同伦提升性质。纤维丛（在仿紧底上）构成一类重要例子。在同伦论中任何映射和纤维化“一样好”——即任何映射可以分解为到“映射道路空间”的同伦等价复合一个纤维化（参见同伦纤维）。 对 CW复形（或等价地，只用多方体 In）有同伦提升性质的纤维化称为塞尔纤维化，让-皮埃尔·塞尔在其博士论文中部分提出了这个概念。这篇论文牢固地在代数拓扑学中建立了谱序列的…
映射度
在拓扑学中，两个同维数流形之间的连续映射的度数（）非正式地说是一个点被盖住的次数。一个映射的度数可用同调群，或（对光滑映射）正则值的原像定义。它是卷绕数的一个推广。例如，考虑复平面上映射 zn，视为 S2 到自身的映射，具有度数 n，它将球面绕自身缠了 n 圈。 在物理学中，连续映射的度数，比如从空间到有序参数集的一个映射，是拓扑量子数的一个例子。 从一个圆周到自身 最简单也最重要的例子是从圆周到自身一个连续映射的度数（这称为卷绕数）：…