数学中，上同调运算自1950年代起称为代数拓扑，特别是同伦论的核心，其简单定义是：若F是定义上同调论的函子，则上同调运算应是F到自身的自然变换。自始至终有两个基本点：

运算可用组合方法研究；

运算效果是产生有趣的双交换子理论。

这些研究来自庞特里亚金、波斯尼科夫、诺曼·斯廷罗德等人的研究，他们首次定义了模2系数情形下奇异上同调的庞特里亚金平方、波斯尼科夫平方、斯廷罗德根运算。其中的组合方面是在上链层面上对自然对角映射失效的表述。运算的斯廷罗德代数的一般理论与对称群的一般理论密切相关。
亚当斯谱序列中，双交换子方面隐含在Ext函子、Hom函子的导出函子的使用中；若在斯廷罗德代数作用上存在双交换子性，也只是在导出的层面上。其趋同于稳定同伦论中的群，而关于稳定同伦论的信息却很难获得。这种联系使同伦论对上同调运算产生了浓厚兴趣，自此成为一个研究课题。非凡上同调论有自己的上同调运算，可能表现出更丰富的约束。

正式定义
:(n,q,\pi,G)\,

型上同调运算\theta是定义在CW复形上的函子

:\theta:H^{n}(-,\pi)\to H^{q}(-,G)\,

的自然变换。

与艾伦伯格–麦克莱恩空间的关系
CW复形的上同调用艾伦伯格–麦克莱恩空间可表，因此由米田引理，(n,q,\pi,G)型上同调运算由K(\pi,n) \to K(G,q)的同伦类映射给出。再次利用可表性，上同调运算由H^{q}(K(\pi,n),G)的一个元素给出。

令[A,B]表示A到B的映射的同伦类集，

::\begin{align}\displaystyle\mathrm{Nat}(H^n(-,\pi),H^q(-,G)) &= \mathrm{Nat}([-,K(\pi,n)],[-,K(G,q)])\\ &= [K(\pi,n),K(G,q)]\\ &= H^q(K(\pi,n);G).\end{align}

另见
*二阶上同调运算

参考文献
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