覆疊空間

在拓撲學中，拓撲空間X的覆疊空間是一對資料(Y,p)，其中Y是拓撲空間，p: Y \to X是連續的滿射，並存在X的一組開覆盖
:X = \bigcup_{U\in \mathcal{U}} U
使得對每個U \in \mathcal{U}，存在一個離散拓撲空間F及同胚：\phi_U: U \times F \simeq p^{-1}(U)，而且p \circ \phi_U: U \times F \to U是對第一個坐標的投影。

滿足上述性質的p: Y \to X稱為覆疊映射。當X連通時，F的基數是個常數，稱為覆疊的次數或重數。

空間X的覆疊構成一個範疇\mathbf{Cov}_X，其對象形如p: Y \to X，從p: Y \to X到q: Z \to X態射是連續映射f: Y \to Z，且q \circ f = p。

例子

• 考慮映射p: \mathbb{R} \to \mathbb{S}^1，p(x) = e^{2\pi i x}。對任意s=e^{2\pi it} \in \mathbb{S}^1，取其開鄰域

:U := \{e^{2\pi is} : |s-t|
:f: (-1/2, 1/2) \times \mathbb{Z} \stackrel{\sim}{\to} p^{-1}(U), \quad f(t,n) = t+n
由此可見p: \mathbb{R} \to \mathbb{S}^1是覆疊映射。

• 莫比烏斯帶的二重覆疊空間是 \mathbb{S}^1\times [0,1]。

性质
局部性质
对于任何一个覆叠p:C \to X都是一个局部同胚，这就是说，对任意的c \in C，都存在一个在C中的开邻域U，和p(c)在X中的开邻域V，使得p在U上的限制诱导U到V上的同胚。这说明C和X在局部上的拓扑性质是一样的。如果X是单连通的且C是连通的，则在整体上也成立，并且覆叠p变为同胚。
纤维上的同胚

萬有覆疊空間
連通空間X的萬有覆疊空間（若其存在）是範疇\mathbf{Cov}_X的初始對象u: \tilde{X} \to X，換言之，對每個覆疊p: X' \to X，存在唯一的連續映射f: \tilde{X} \to X'使得p \circ f = u。萬有覆疊若存在則必唯一。之前的\mathbb{R} \to \mathbb{S}^1便是一例。

若要求X局部道路連通且局部單連通，則萬有覆疊空間存在。這類空間的主要例子有流形和單純複形。在同樣前提下，覆疊\tilde{X} \to X是萬有覆疊的充要條件是基本群\pi_1(\tilde{X},*) = \{e\}。

正則覆疊及主叢
以下同樣要求X連通、局部道路連通且局部單連通。對於覆疊映射p: Y \to X，選定x \in X。在\mathbf{Cov}_X中的自同構群\mathrm{Aut}(p)在纖維p^{-1}(x)上的作用是自由的（即：\mathrm{Aut}(p) \to \mathrm{Aut}(p^{-1}(x))是單射），對於x \in X的不同選取，此作用僅差個自然的同構。

若\mathrm{Aut}(p)的作用是傳遞的，則稱p: Y \to X為正則覆疊。萬有覆疊必正則，反之則不然。按照纖維叢的觀點，覆疊空間正是離散纖維的纖維叢，正則覆疊對應到主叢。

文獻
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