胡列维茨定理
在数学中，胡列维茨定理是代数拓扑的一个基本结论。定理通过“胡列维茨同态”将同伦论与同调论联系起来，是庞加莱此前部分结论的推广。胡列维茨定理以命名。 定理陈述 胡列维茨定理是连接同伦群和同调群的关键一环。 绝对版本 对于任意空间 X 和任意正整数 k ，都存在群同态（构造见本小节末尾） :h_{\ast}\colon\, \pi_k(X) \to H_k(X) \,\! 称为从 k 阶同伦群到 k 阶（整系数）同调群的胡列维茨同态。当 k…
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有理同伦论
在数学中，有理同伦论是对拓扑空间的有理同伦型的研究；粗略地说，有理同伦型忽略同倫群的挠。有理同伦论由 与 首创。 对于单连通空间，有理同伦型等同于一种被称作极小苏利文代数的代数对象（的同构类）；这种代数对象是满足特定条件的有理数域上的可交换微分分次代数。 有理同伦论的标准教材是。 有理空间 有理空间是所有同伦群皆为有理数域上的向量空间的單連通空间。若 X 是单连通CW复形，则存在一个（在同伦等价的意义下唯一）有理空间 Y 以及映射 f:…
割補理論
在數學中，尤其是拓撲學，割補理論(surgery theory)是一種用於從另一流形對象產生一個有限維流形、並在「控制」之下的理論方法。其最初是用於處理光滑流形，之後陸續被應用於分段線性流形以及拓撲流形等等。 概念 所謂的「割補」是指將流形的某一部份「割」下，再從其它流形找一部分將其沿著邊界或割緣「補」上。它與柄體分解(handlebody decomposition)的概念相似而不盡相同，因為它主要是用於研究及分類大於三維的流形。 參…
上纤维化
在数学裡，特别是同伦论中，一个连续映射 :i\colon A \to X, 这里 A 和 X 是拓扑空间，是一个上纤维化（）如果它关于所有空间 Y 满足同伦延拓性质。因其对偶条件定义了纤维化，故有此名。上纤维化更一般的概念参见模型范畴一文。 基本定理 对豪斯多夫空间一个上纤维化是一个闭包含（像为闭集的单射）；对适当的空间，其逆也成立。 任何映射利用映射柱构造可以换成一个上纤维化。 存在一个上纤维化 (A, X)，当且仅当存在从 :: X…
截面 (纤维丛)
的一个截面是一个向量场。]] 在数学之拓扑学领域中，拓扑空间 B 上纤维丛 π: E → B 的一个截面或横截面（），是一个连续映射 s : B → E，使得对 x 属于 B 有 π(s(x))=x。 从函数图像开始 截面是函数图像概念的某种推广。一个函数 g : X → Y 的图像可以等价于取值为 X 与 Y 的笛卡儿积的一个函数： : f(x) = (x,g(x)) \in E,\quad f:X\to E.\, 一个截面是什么是一…
同倫群
在數學中，同倫群是拓撲空間的一種同倫不變量。同倫群的研究是同倫理論的基石之一，一般空間的同倫群極難計算，即使對球面 S^n 的情形，至今也沒有完整結果。 定義 設 X 為拓撲空間而 S^n 為 n 維球面。選定基點 a \in S^n, x \in X。定義 \pi_n(X,x) 為 [S^n, X]，也就是由保持基點的連續映射 f: S^n \to X 的同倫類構成的集合。為了方便起見，以緯垂坐標表示球面上的點，即：s_1 \wedg…
博特周期性定理
博特周期性定理描述了酉群的同伦群和正交群同伦群的周期性。 简单的讲： :\pi_k(U)=\pi_{k+2}(U)\,\! :\pi_k(O)=\pi_{k+4}(Sp) \,\! :\pi_k(Sp)=\pi_{k+4}(O) ,\ \ k=0,1,\dots . \,\! 注意第2和第3个等式蕴涵了正交群的同伦群具有周期8。 拉乌尔·博特开始是用莫尔斯理论证明的，后来又出现了K理论的证明。
同倫範疇
在數學的拓撲學領域中，同倫範疇是處理同倫問題時格外便利的範疇論語言。它的對象是拓撲空間，態射是連續函數的同倫類，這是商範疇的一個例子；由於同倫關係在映射的合成下不變，同倫範疇的定義是明確的。所有拓撲空間構成的同倫範疇通常記為 \mathbf{hTop} 或 \mathbf{Toph}；有時也會考慮較小一類的空間，例如緊生成豪斯多夫空間或CW複形。 兩空間在同倫範疇中同構的充要條件是它們同倫等價。 設 X, Y 為拓撲空間，它們在同倫範疇…
单纯范畴
数学裡，单纯范畴（）或序数范畴（）是范畴论中用来定义单纯与余单纯对象的一个构造。 正式定义 单纯范畴通常记作 \Delta，有时也写成 Ord。这个范畴有多个等价的描述。\Delta 可以描述为对象为有限序数（视为全序集），态射为保序函数范畴。这个范畴由余面映射与余退化映射生成，对应于插入或删去顺序中的元素，这些映射的关系参见单纯集合。 单纯对象是 \Delta 上的一个预层，即从 \Delta 到另一个范畴的反变函子。例如，单纯集合是…