茶年 · 中文维基百科

艾伦伯格–麦克莱恩空间

Wikipedia · 2026-06-18 维基百科 👁 1 阅读

数学中，特别是代数拓扑中，艾伦伯格–麦克莱恩空间是具有单一非平凡同伦群的拓扑空间。

令G为群，n为正整数。连通拓扑空间X的第n同伦群\pi_n(X)若同构于G、其他同伦群都平凡，则称X是K(G,n)型艾伦伯格–麦克莱恩空间。设G在n > 1时是阿贝尔群，则K(G,n)型艾伦伯格–麦克莱恩空间总存在，且都是弱同伦等价的。因此，可以认为K(G,n)指空间的弱同伦等价类。通常将任何表示称作“一个K(G,n)”或“K(G,n)的模型”，此外通常假定这空间是CW复形（通过CW近似总是可能的）。

艾伦伯格–麦克莱恩空间得名于塞缪尔·艾伦伯格与桑德斯·麦克莱恩，他们在1940年代末引入了此类空间。

因此，艾伦伯格–麦克莱恩空间是一类特殊的拓扑空间，在同伦论中可视作通过波斯尼科夫塔中的纤维化构建CW复形的物件。这些空间在代数拓扑的很多方面都十分重要，如球面同伦群的计算、上同调运算的定义及与奇异上同调的紧密联系。
广义艾伦伯格–麦克莱恩空间是具有艾伦伯格–麦克莱恩空间
\prod_{m}K(G_m,m)的拓扑积的同伦类的空间。

例子

  • 单位圆S^1是K(\Z,1)。
  • 无穷维复射影空间\mathbb{CP}^{\infty}是K(\Z,2)的模型。
  • 无穷维实射影空间\mathbb{RP}^{\infty}是K(\Z/2,1)。
  • k个单位圆的楔和\textstyle\bigvee_{i=1}^k S^1是K(F_k,1)，其中F_k是k个生成子上的自由群。
  • 3维球S^3中任何连通结或图的补是K(G,1)型，这种现象被称作“结的非球面性”，是赫里斯托斯·帕帕基里亚科普洛斯于1957年提出的定理。
  • 紧连通曲率非正流形M是K(\Gamma,1)，其中\Gamma=\pi_1(M)是M的基本群。这是嘉当–阿达马定理的结果。
  • 无限透镜空间 L(\infty, q)由S^\infty对自由作用 (z \mapsto e^{2\pi i m/q}z) （ m \in \Z/q ）的商给出，是K(\mathbb{Z}/q,1)。这可以用覆叠空间理论和无穷维球体可收缩来证明。注意这包括作为K(\Z/2,1)的\mathbb{RP}^{\infty}。
  • 平面上n个点的构型空间是K(P_n,1)，其中P_n是n股上的纯辫群。
  • 相应地， \mathbb{R}^2 的第n无序构型空间是K(B_n,1)，其中B_n表示n股辫群。
  • n球的无穷对称积 SP(S^n)是K(\mathbb{Z},n)。更一般地， SP(M(G,n)) 对所有摩尔空间 M(G,n) 是 K(G,n) 。

利用积K(G,n) \times K(H,n)是K(G\times H,n)的事实，可构造出更多基本例子，例如n维环面\mathbb{T}^n是 K(\mathbb{Z}^n, 1)。

关于构造艾伦伯格–麦克莱恩空间的备注
对 n = 1 、任意群G， K(G,1) 的构造与G的分类空间的构造相同。注意若G含扭元（torsion element），则K(G,1)型CW复形都是无穷维的。

构造高阶艾伦伯格-麦克莱恩空间有很多技术，如为阿贝尔群A构造摩尔空间M(A,n)：取n个球的楔，每个球代表一个A的生成子，并通过上述楔和的 \pi_n(\bigvee S^n) 中相应映射附加(n+1)个胞腔（cell），实现生成子之间的关系。注意低阶同伦群\pi_{i 由构造是平凡的。现在通过附加大于 n + 1 维的胞腔，迭代杀死所有高阶同伦群\pi_{i > n} (M(A,n)) ，并定义 K(A,n) 为包含此迭代的直极限。

另一个有用技巧是运用单纯阿贝尔群的几何实现。这给出了代表艾伦伯格-麦克莱恩空间的单纯阿贝尔群的明确表述。

乔·彼得·梅的书从分类空间与通用丛角度给出了另一种简单构造。

由于闭路空间将同伦群降低了一圈（slot），我们有规范同伦等价K(G,n)\simeq\Omega K(G,n+1)，因此有纤维化序列
:K(G,n) \to * \to K(G,n+1).
注意这不是上纤维化序列：空间K(G,n+1)不是K(G,n) \to *的同伦上纤维。

这个纤维化序列可用于从K(G,n)用勒雷谱序列研究K(G,n+1)的上同调，让-皮埃尔·塞尔在利用波斯尼科夫塔和谱序列研究球面同伦群时利用了这一点。

性质
映射与上同调的同伦类间的双射
K(G, n)的一个重要性质是，对任何阿贝尔群G、任何基CW复形X，X到 K(G,n)的基映射的基同伦类集[X, K(G,n)]，同空间X的第n奇异上同调群H^n(X, G)是自然双射。因此可以说K(G,n)'s是系数在G中的奇异上同调的表示空间。由于
:\begin{array}{rcl}
H^n(K(G,n),G) &=& \operatorname{Hom}(H_n(K(G,n);\Z), G) \\
&=& \operatorname{Hom}(\pi_n(K(G,n)), G) \\
&=& \operatorname{Hom}(G,G),
\end{array}
有一个区别元素u \in H^n(K(G,n),G)，对应幺元。上述双射由元素的拉回 f \mapsto f^*u 给出，这与范畴论中的米田引理很相似。

此定理的构造性证明可见参考文献，另一个利用Omega谱与广义既约上同调关系的证明可见参考文献，主要思想也将在后面略述。

闭路空间/Omega谱
艾伦伯格–麦克莱恩空间的闭路空间还是艾伦伯格–麦克莱恩空间：\Omega K(G,n) \cong K(G,n-1)。此外，在闭路空间与既约纬悬之间还有伴随关系： [\Sigma X, Y] = [X,\Omega Y] ，使[X,K(G,n)] \cong [X,\Omega^2K(G,n+2)] 有阿贝尔群的结构，其中的运算是闭路的链接。这使得上面提到的双射 [X, K(G,n)] \to H^n(X, G) 是群同构。

这个性质还意味着不同n的艾伦伯格–麦克莱恩空间构成Omega谱，称作艾伦伯格–麦克莱恩空间谱。这个谱通过 X \mapsto h^n(X):= [X, K(G,n)] 定义了基于CW复形的既约上同调论，对任何CW复形上的既约上同调论 h^ （ h^n(S^0) = 0 ， n \neq 0），有自然同构 h^n(X) \cong \tilde{H}^n(X, h^0(S^0) ，其中 \tilde{H^} 表示既约奇异上同调。因此，这两个上同调论重合。

在更广义的语境中，布朗可表性定理指出，基CW复形上的既约上同调论来自Omega谱。

与同调的关系
对给定阿贝尔群G，有稳定同伦群
: \pi_{q+n}^s(X \wedge K(G,n)) \cong \pi_{q+n+1}^s(X \wedge \Sigma K(G,n)) \to \pi_{q+n+1}^s(X \wedge K(G,n+1))
上由映射 \Sigma K(G,n) \to K(G,n+1)导出的映射。取它们的直极限，可验证这在CW复形上定义了既约同调论
:h_q(X) = \varinjlim _{n} \pi_{q+n}^s(X \wedge K(G,n))
由于 h_q(S^0) = \varinjlim \pi_{q+n}^s(K(G,n)) （ q \neq 0）为零， h_ 与CW复形上系数在G中的既约奇异同调\tilde{H}_(\cdot,G) 一致。

函子性
从上同调的万有系数定理可以看出，艾伦伯格–麦克莱恩空间是群的准函子，即对每个正整数n，若a\colon G \to G'是阿贝尔群的任何同态，则有非空集

: K(a,n) = \{[f]: f\colon K(G,n) \to K(G',n), H_n(f) = a\},
满足K(a \circ b,n) \supset K(a,n) \circ K(b,n) \text{ and } 1 \in K(1,n),

其中[f]表示连续映射f、S \circ T := \{s \circ t: s \in S, t \in T \}的同伦类。

与波斯尼科夫/怀特海塔的关系
连通CW复形X都有波斯尼科夫塔，即空间的逆系：

:\cdots \to X_3 \xrightarrow{p_3} X_2 \xrightarrow{p_2} X_1 \simeq K(\pi_1(X), 1)
使对每个n都有：
#有交换映射 X \to X_n ，导出 \pi_i （ i \leq n）上的同态；

\pi_i(X_n) = 0 （ i > n ）；

#映射 X_n \xrightarrow{p_n} X_{n-1} 是具有纤维 K(\pi_n(X),n)的纤维化。

对偶地，还有怀特海塔，是CW复形的序列：

:\cdots \to X_3 \to X_2 \to X_1 \to X
使对每个n都有：

映射 X_n \to X 导出 \pi_i （ i > n ）上的同态；

X_n 是n连通的；

映射 X_n \to X_{n-1}是具有纤维 K(\pi_n(X), n-1) 的纤维化。

在塞尔谱序列的帮助下，可计算出球面的高阶同伦群。例如， \pi_4(S^3) 、 \pi_5(S^3) 用 S^3 的怀特海塔，可见参考文献；更一般地说，使用波斯尼科夫系统的 \pi_{n+i}(S^n) \ i \leq 3 可见参考文献。

上同调运算
对不变的自然数m,n、阿贝尔群G,H ，存在所有上同调运算集\Theta :H^m(\cdot,G) \to H^n(\cdot,H) 与 H^n(K(G,m),H) 之间的双射，定义为 \Theta \mapsto \Theta(\alpha) （ \alpha \in H^m(K(G,m),G) 是基本类）。

因此，上同调运算不能降低同调群的度，保度上同调运算对应系数同态 \operatorname{Hom}(G,H) 。这源于上同调的万有系数定理与 K(G,m) 的(n-1)连通性。

G=H是有限循环群时，上同调运算的一些有趣例子是斯廷罗德平方与幂。研究这些时，系数在 \Z /p 中的 K(\Z /p ,n) 的上同调变得非常重要，有关这些组别的详细列表，请参此处。

群（上）同调
可以定义群G的系数在群A中的（上）同调为艾伦伯格–麦克莱恩空间 K(G,1) 的奇异（上）同调，系数在A中。

进一步应用
上述闭路空间构造在弦论中用于得到弦群等等，如由短正合列
:0\rightarrow K(\Z,2)\rightarrow \operatorname{String}(n)\rightarrow \operatorname{Spin}(n)\rightarrow 0
产生的怀特海塔，其中\text{String}(n)是弦群，\text{Spin}(n)是旋量群。K(\Z,2)的相关性在于存在分类空间B\Z（且K(\Z,2) \simeq BU(1)）的同伦等价关系
:K(\mathbb{Z},1) \simeq U(1) \simeq B\Z
注意，由于复旋量群是群扩张
:0\to K(\Z,1) \to \text{Spin}^\Complex(n) \to \text{Spin}(n) \to 0,
弦群在高阶群理论中可看做“高阶”复旋量群的扩张，因为空间K(\Z,2)就是高阶群的一个例子。它可看做是对象为单点、态射为群U(1)的广群\mathbf{B}U(1)的拓扑实现。由于这些同伦性质，这个构造可以推广：任何给定空间K(\Z,n)都可以用来启动一个短正合列，可在拓扑群中去除同伦群\pi_{n+1}。

另见
*分类空间， n = 1 情形
*布朗可表性定理，关于表示空间
*摩尔空间，同调中的类似物

注释
参考文献
基础文章
*
*
*

嘉当研讨会与应用
嘉当研讨会（Cartan seminar）包含很多余艾伦伯格-麦克莱恩空间的基本结果，包括其同调与上同调、计算球面同伦群的应用等。

计算整上同调环

其他百科参考文献

*

#同伦论

评论 (0)

  • 还没有评论，来抢沙发吧。