牛奶凍曲線

牛奶凍曲线（）又称为高木曲线，因為在1901年由高木貞治所研究。另外也稱为高木-蘭茨貝格曲線（），一種更一般化的曲線，以高木貞治和格奧爾格·蘭茨貝格的名字命名。牛奶凍曲線也是的特例。

定義
定義域為單位區間的牛奶凍函數定義為

: b(x) = \sum_{n=0}^\infty {s(2^{n}x)\over 2^n},

其中 s 是三角波函數，定義為 s(x)=\min_{n\in\mathbb{N}}\left|x-n\right|。

而 Takagi–Landsberg 曲線的定義是更一般化的：

:T_w(x) = \sum_{n=0}^\infty w^n s(2^{n}x),

其中w是一個變數使|w|。
File:Blancmange k1.5.png|parameter w=2/3
File:Blancmange k2.png|parameter w=1/2
File:Blancmange k3.png|parameter w=1/3
File:Blancmange k4.png|parameter w=1/4
File:Blancmange k8.png|parameter w=1/8

性質
收斂與連續性
以 w （|w| ）為參數無限和T_w(x)對所有 x 絕對收斂：因為對所有x\in \mathbb{R}有0\le s(x) \le 1/2，從而

: \sum_{n=0}^\infty |w^n s(2^n x)| \le \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty |w|^n = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-|w|}。

以 w 為參數的T_w(x)也是連續的。因為可以如下證明T_{w,n}(x) = \sum_{k=0}^n w^k s(2^k x)均勻收斂到T_w：

: \left|T_w(x) - T_{w,n}(x)\right| = \left|\sum_{k=n+1}^\infty w^k s(2^k x)\right| = \left|w^{n+1} \sum_{k=0}^\infty w^k s(2^{k+n+1} x)\right| \le \frac 對所有 x\in \mathbb{R}。

其值在 n 夠大時可以任意的小。再根據，T_w連續。
次可加性
T_w具有次可加性。

拋物線
當w=\frac{1}{4}，T_w的圖形是拋物線，且用中點細分的構造方法曾被阿基米德描述。

可微性
對所有0，T_w在任意不是二进分数的x\in\R是可微的，且其結果是

:T_w'(x) = \sum_{n=0}^\infty (2w)^n \,(-1)^{x_{-n-1}},

其中(x_n)_{n\in\Z}\in\{0,1\}^\Z是x的二進位表達式的序列，也就是滿足x=\sum_{n\in\Z}2^n x_n的序列。