在实分析中，达布定理（）得名于让·加斯东·达布。达布定理说明所有实函数的导数都具有介值性质：实导函数对任意区间的值域仍是区间。即，若f为可导函数，则对任意区间I，f'(I) 仍为区间。
当函数 f 是一阶连续可导函数时，由介值定理，达布定理显然成立。当导函数 f' 不连续时，达布定理说明 f' 仍具有介值性质。
内容
设f\colon [a,b]\to \R为闭区间[a,b]上的可导实函数，那么对介于f'(a)和f'(b)之间的任意y，存在x \in [a,b]使得f'(x) = y。
证明
不失一般性，可假设f\,'_{+}(a) > y > f\,'_{-}(b)。又设g(x):= f(x)-tx，则 g'_{+}(a) > 0 > g'_{-}(b)。只需找到g'在[a,b]上的一个零点即可。
由于g是[a,b]上的连续函数，由極值定理，g在[a,b]上达到极大值。由于g'_{+}(a) > 0，极大值不在a处取到。同理，由于g'_{-}(b) ，极大值也不在b处取到。设x为取到极大值的点，这时，g\,'(x) = 0。于是定理得证。
历史
19世纪时，大部分数学家认为介值定理已经可以刻畫出连续函数。但在1875年，让·加斯东·达布证明这个想法是错误的，因为连续函数的导函数仍然具有介值性质，但不一定是连续函数。一个很常用的反例是拓扑学家正弦曲线函数：
:x \mapsto \begin{cases}\sin(1/x) & x\ne 0\text{时 }, \\
0 & x=0\text{时 } . \end{cases}
其导数在 x=0 处并不连续。
参考资料
*万丽 , 李少琪 , 阎庆旭，《微分达布(Darboux)定理的几种新证法及其推广》，《数学的实践与认识》2003年11期
*潘继斌，《达布(Darboux)定理及其应用》，《湖北师范学院学报（自然科学版）》2000年01期
外部链接
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