介值定理

在数学分析中，介值定理（，又稱-{zh-cn:中间值定理;zh-hk:中間值定理;zh-tw:介值定理;}-）描述了連續函數在兩點之間的連續性：
:假設 f:[a,b]\to \mathbb{R} 為一連續函數。若一實數 u 滿足 (f(a)-u)(f(b)-u)\le0，則存在一實數 c \in [a,b] 使得 f(c)=u。

介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明，在這個證明中，他附帶證明了波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理。

定理
定理敘述
{{math theorem
| 設 a ，且 f \colon [a,b] \to \mathbb{R} 為一連續函數。則下列敘述成立：

• 對任意滿足 (f(a)-u)(f(b)-u) 的實數 u，皆存在一實數 c \in (a,b) 使得 f(c)=u。
• f 的值域為一閉區間。

| name = 中間值定理
}}

证明
先证明第一种情况 f(a)；第二种情况也类似。

设 S=\{x\in[a,b]:f(x)\leq u\}。由 a \in S 可知 S 非空。由於 S 具有上界 b，故由实数的完备性知 S 有最小上界 c = \sup S。我们以反证法证明 f(c)=u。

• 首先假设 f(c) > u 。由於 f 连续，我們能找到正实数 \delta 使得 \left| f(x)-f(c) \right| 對所有 x \in (c-\delta,c+\delta) 均成立。由於 c = \sup S，故存在滿足 c - \delta 的 y \in S；此時 \left| y - c \right| ，故 f(y) - f(c) > -(f(c) - u)，即 f(y) > u，與 y \in S 矛盾。故原假設 f(c) > u 不成立。
• 接著假设 f(c)。由於 f 连续，我們能找到正实数 \delta 使得 \left| f(x)-f(c) \right| 對所有 x \in (c-\delta,c+\delta) 均成立。設 y = c + \frac{\delta}{N},當中N>\frac{\delta}{b-c}+1。因此y。因為N>1，故y；此時 f(y) - f(c) ，即 f(y) ，故 y \in S。這會導致 c 不是 S 的上界，矛盾。故原假設 f(c) 不成立。

因此f(c)=u。

與實數完備性的關係
此定理仰賴於實數完備性，它對有理數不成立。例如函數f(x) = x^2 - 2滿足f(0)=-2, f(2)=2，但不存在滿足f(x)=0的有理數x。

零点定理（波尔查诺定理）
零点定理，也称零值定理，是介值定理的一种特殊情况－如果曲線上兩點的值正負號相反，其間必定存在一個根：
:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a) \cdot f(b) ，则必存在\xi \in (a,b)使f(\xi)=0成立。由於零点定理可用來找一方程式的根，也稱為勘根定理。伯纳德·波尔查诺於1817年證明了這個定理，同時證明了這個定理的一般情況（即介值定理）。以現代的標準來說，他的證明並不算是非常嚴格。

现实世界中的意义
介值定理意味着在地球的任何大圆上，温度、压强、海拔、二氧化碳的浓度（或其他任何连续变化的变量），总存在两个对蹠点，在这两个点上该变量的值是相同的。

证明：取f为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线，与圆相交于点A和点B。设d为f(A) − f(B)的差。如果把这条直线旋转180度，将得到值−d。根据介值定理，一定存在某个旋转角，使得d = 0，在这个角度上便有f(A) = f(B)。

这是一个更加一般的结果——博苏克-乌拉姆定理的特殊情况。

参见

• 中值定理
• 极值定理
• 達布定理

参考资料
外部链接

• 上的[http://www.cut-the-knot.org/Generalization/ivt.shtml 介值定理-波尔查诺定理]

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