海涅-康托尔定理，以愛德華·海涅和乔治·康托尔命名，说明如果M是一个紧緻度量空间，N是一个度量空间，则每一个连续函数
:f : M → N,
都是均勻连续的。
特别地，如果f : [a,b] → R是一个连续函数，则它是一致连续的。
证明 1
假设f在紧度量空间M上连续，但不一致连续，则以下命题
:\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 ，使得对于所有M内的x和y，都有 d(x,y)
的否定是：
:\exists \varepsilon_0 > 0，使得\forall \delta > 0 , \ \exists x, y \in M ，使得\ d(x,y) ，且 \rho (f(x) , f(y) ) \ge \varepsilon_0。
其中d和\rho分别是度量空间M和N上的距离函数。
选择两个序列xn和yn，使得：
: d(x_n, y_n) ，且 \rho ( f (x_n), f (y_n)) \ge \varepsilon_0 (*)
由于度量空间是紧致的，根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，序列xn存在一个收敛的子序列x_{n_k}，而d(x_{n_k},y_{n_k})，故x_{n_k}和y_{n_k}收敛于相同的点。又因为f是连续的，所以f(x_{n_k})和f(y_{n_k})收敛于相同的点，与(*)式矛盾。
证明 2
设 f 是从一个紧度量空间 (M,dM) 到一个度量空间 (N,dN) 的连续函数，欲证明 f 是一致连续的。
设给定了 \varepsilon>0, 于是对 M 中的每一个点 a 都存在一个与 a 有关的 \delta, 使得
:
d_N(f(x), f(a))
考虑由半径为 \delta/ 2 的球 B_M(a ; \delta / 2) 构成的集族, 这族球覆盖 M, 而且因为 M 是紧的, 所以这些球中有有限个也覆盖 M, 比方说
:
M = \bigcup_{k=1}^m B_M\left(a_k ; \frac{r_k}{2}\right) \qquad\text{(*)}
在任何一个两倍半径的球 B_M\left(a_k ; r_k\right) 中, 我们有
:
d_N\left(f(x), f\left(a_k\right)\right)
设 \delta=\min(r_1 / 2, \cdots, r_m / 2), 欲证明这个 \delta 满足一致连续性定义中的要求.
对 M 中的两个点 x 和 y 满足条件 d_M(x,y), 由 \text{(*)}, 有某个球 B_M\left(a_k ; r_k / 2\right) 包含 x, 所以
:
d_N\left(f(x), f\left(a_k\right)\right)
由三角不等式可得
:
d_M\left(y, a_k\right) \leqslant d_M(y, x)+d_M\left(x, a_k\right)
因而, y \in B_M\left(a_k ; r_k\right), 所以也有 d_N\left(f(y), f\left(a_k\right)\right). 再次使用三角不等式就可以发现
:
d_N(f(x), f(y)) \leqslant d_N\left(f(x), f\left(a_k\right)\right)+d_N\left(f\left(a_k\right), f(y)\right)
參考文獻
外部链接
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