以法国数学家米歇尔·罗尔命名的罗尔中值定理（）是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，叙述如下：如果函数f(x)满足

在闭区间[a,b]上连续；

在开区间(a,b)内可微分；

在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，

那么在(a,b)内至少有一点\xi (a，使得f^\prime(\xi)=0。

证明
首先，因为f在闭区间[a,b]上连续，根据极值定理，f在[a,b]上有最大值和最小值。如果最大值和最小值都在端点a或b处取得，由于f(a)=f(b)，f显然是一个常数函数。那么对于任一点\xi \in (a,b)，我们都有f^\prime(\xi)=0。

现在假设f在\xi\in (a,b)处取得最大值。我们只需证明f在该点导数为零。

取x\in (a,\xi)，由最大值定义f(\xi)\geq f(x)，那么\frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}\geq 0。令x\rightarrow \xi^-，则\lim_{x\rightarrow \xi^-} \frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}\geq 0。因为f在\xi处可导，所以我们有 f'(\xi)\geq 0。

取x\in (\xi,b)，那么\frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}\leq 0。这时令x\rightarrow \xi^+，则有\lim_{x\rightarrow \xi^+} \frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}\leq 0，所以 f'(\xi)\leq 0。

于是，結合兩者，f'(\xi)=0。

f在\xi\in(a,b)处取得最小值的情况同理。

例子
第一个例子
考虑函数
:f(x)=\sqrt{r^2-x^2},\quad x\in[-r,r]。

（其中r > 0。）它的图像是中心位于原点的半圆。这个函数在闭区间[−r,r]内连续，在开区间(−r,r)内可导（但在终点−r和r处不可导）。由于f(−r) = f(r)，因此根据罗尔定理，存在一个导数为零的点。

第二个例子
如果函数在区间内的某个点不可导，则罗尔定理的结论不一定成立。对于某个a > 0，考虑绝对值函数：

:f(x) = |x|,\qquad x\in[-a,a]。

那么f(−a) = f(a)，但−a和a之间不存在导数为零的点。这是因为，函数虽然是连续的，但它在点x = 0不可导。注意f的导数在x = 0从-1变为1，但不取得值0。

推广形式
第二个例子表明罗尔定理下面的一般形式：

考虑一个实数，f(x)是在闭区间[a,b]上的连续函数，并满足f(a) = f(b).如果对开区间(a,b)内的任意x，右极限
:f'(x+):=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

而左极限

:f'(x-):=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

在扩展的实数轴[−∞,∞]上存在，那么开区间(a,b)内就存在c使得这两个极限

f'(c+)\quad和\quad f'(c-)

中其中一个≥ 0，另一个≤ 0（在扩展的实数轴上）。如果对任何x左极限和右极限都相同，那么它们对c也相等，于是在c处f的导函数存在且等于零。

在 𝑓 的两个相邻实根之间，𝑓′ 的零点个数是奇数
设 f\in\mathbb R[x]，并先把重根去掉（若有重根，f' 在该点已为零，结论更易）。设
:
\alpha
是 f 的相邻实根，即 (\alpha,\beta) 内没有其它 f 的根。把 f 分解为
:
f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)\,h(x),

其中 h 在 [\alpha,\beta] 上不为零，因而符号恒定。两端求导得
:
f'(\alpha)=(\alpha-\beta)\,h(\alpha),\qquad
f'(\beta)=(\beta-\alpha)\,h(\beta).
由于 h(\alpha),h(\beta) 同号，而 \alpha-\beta0，可见
:
\operatorname{sgn} f'(\alpha)=-\operatorname{sgn} f'(\beta),

即 f' 在端点异号。于是 f' 在开区间 (\alpha,\beta) 内的零点个数必为奇数（连续函数两端异号 ⇒ 过零次数为奇数）。这就给出了 Rolle 结论，并且加强为“奇数个”。

参见

• 中值定理

参考文献
外部链接
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