斯托尔兹-切萨罗定理

斯托尔兹－切萨罗定理（）是数学分析学中的一個用于證明數列收歛的定理。该定理以奥地利人和意大利人恩纳斯托·切萨罗命名。

内容
情況的敘述
令 (a_n)_{n \geq 1} 以及 (b_n)_{n \geq 1} 為兩個實數數列。假設 (b_n)_{n \geq 1} 是個嚴格單調且發散的數列(亦即嚴格遞增並接近無窮大，或者嚴格遞減並接近負無窮大)，以及下述極限存在:
: \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l.\
那麼，可以推得極限
: \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=l.\

情況的敘述
令 (a_n)_{n \geq 1} 以及 (b_n)_{n \geq 1} 為兩個實數數列。假設 (a_n)\to 0 以及 (b_n)\to 0，並且 (b_n)_{n \geq 1} 是嚴格單調。如果
: \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l,\
則
: \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=l.\

用法说明
该定理虽然主要被用来处理数列不定型极限。但在类比记忆时应当注意，斯托尔兹－切萨罗定理要求数列要具有严格的单调性（或者至少当项数足够大时，要具有严格单调性），而洛必达法则没有对函数的单调性作出要求；洛必达法则要求函数在所考察点的邻域上具有可求导性，但斯托尔兹－切萨罗定理对数列不存在类似限制（数列没有“可差分性”一说）。并非所有的函数都可以进行求导运算，但任何数列都是可以进行差分运算的。

此定理的逆命题不成立。也即当满足条件的 \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} 存在时， \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} 未必存在。如设 a_n = 7n- (-1)^n ， b_n = 7n- 2\times (-1)^n ，这2个正实数数列都是严格单调递增的且发散至无穷大。易知 \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} 存在，且数值为1。但是 \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} = \frac{7(n+1)- (-1)^{n+1}- (7n- (-1)^n)}{7(n+1)- 2\times (-1)^{n+1}- (7n- 2\times (-1)^n)} = \frac{7- (-1)^{n+1} + (-1)^n}{7- 2\times (-1)^{n+1} + 2\times (-1)^n} 当n \to \infty时是震荡的，即此差分之商的极限值不存在。目前可找出的例子都是借助震荡型数列构造的，而用于说明洛必达法则的逆命题不成立的例子也用到了震荡型的函数。

推广
该定理的一个推广形式如下：
:如果 (a_n)_{n\geq 1} 和 (b_n)_{n\geq 1}是两个数列，而b_n是单调无界的，那么
:\liminf_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\leq \liminf_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}.

證明
假設(b_n)為嚴格遞增並發散至\infty, 而且-\infty\leq l:=\limsup_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}, 於是存在 p,q\in \mathbb R 使得 l。因此我們有 \exists n_0\in \mathbb N, \forall n\geq n_0, b_n>0 而且 \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}。

那麼，給定n\geq n_0，注意到 a_{n+1}=(a_{n+1}-a_{n})+\cdots+(a_{n_0+1}-a_{n_0})+a_{n_0}。因為 b_{n+1}>0, 我們有 \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}。

令c_n=p\left(1-\frac{b_{n_0}}{b_{n}}\right)+\frac{a_{n_0}}{b_{n}}，由於\lim_{n\to \infty}b_n=\infty, 於是\lim_{n\to \infty}c_n=p。因此我們有\exists n_1\in \mathbb N, \forall n\geq n_1, c_n。那麼，對於n\geq n_2:=\max\{n_0, n_1\}，我們有 \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}。

於是，當n\to \infty，我們有\limsup_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}\leq q。因為q是任意大於l的數，\limsup_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}\leq l。當l=\infty，不等式顯然成立。

假設-\infty , 於是存在 p,q\in \mathbb R 使得 q'。因此我們有 \exists n_0\in \mathbb N, \forall n\geq n_3, b_n>0 而且 p'。

那麼，給定n\geq n_0，注意到 a_{n+1}=(a_{n+1}-a_{n})+\cdots+(a_{n_0+1}-a_{n_0})+a_{n_0}。因為 b_{n+1}>0, 我們有 p\left(1-\frac{b_{n_0}}{b_{n+1}}\right)+\frac{a_{n_0}}{b_{n+1}}。

令c_n=p\left(1-\frac{b_{n_0}}{b_{n}}\right)+\frac{a_{n_0}}{b_{n}}，由於\lim_{n\to \infty}b_n=\infty, 於是\lim_{n\to \infty}c_n=p'。因此我們有\exists n_1\in \mathbb N, \forall n\geq n_4, q'。那麼，對於n\geq n_5:=\max\{n_3, n_4\}，我們有 q'。

於是，當n\to \infty，我們有q'\leq \liminf_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}。因為q'是任意小於m的數，m\leq\limsup_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}。當l=-\infty，不等式顯然成立。

對於(b_n)為嚴格遞減並發散至-\infty的情況，注意到\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\frac{(-a_{n+1})-(-a_n)}{(-b_{n+1})-(-b_n)} 且(-b_n) 為一個嚴格遞增至\infty的數列即得證。

参考资料
外部链接

• Marian Mureşan: A Concrete Approach to Classical Analysis. Springer 2008, ISBN 978-0-387-78932-3, p. 85 ()

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