[[File:Extreme Value Theorem.svg|thumb|300px|闭区间[a,b]上的连续函数f(x)，其最大值为红色点，最小值为蓝色点。]]
在微积分中，极值定理（或最值定理）说明如果实函数f在闭区间[a,b]上是连续函数，则它一定取得最大值和最小值，至少一次。也就是说，存在[a,b]内的c和d，使得：
:f(c) \ge f(x) \ge f(d)对于所有x\in [a,b]。
一个相关的定理是有界性定理，它说明闭区间[a,b]内的连续函数f在该区间上有界。也就是说，存在实数m和M，使得：
:m \le f(x) \le M对于所有x \in [a,b]。
极值定理强化了有界性定理，它表明函数不仅是有界的，而且它的最小上界就是最大值，最大下界就是最小值。
定理的证明
我们来证明f的上界和存在最大值。把这个结果应用于函数-f，也可推出f的下界和存在最小值。
我们首先证明有界性定理，它是证明极值定理中的一个步骤。
有界性定理的证明
假设函数f在区间[a,b]内連續且没有上界，那么对于每一个自然数n，都存在[a,b]内的一个x_n，使得f(x_n) > n（任定的，總之條件為真即可）。这便定义了一个序列\{x_n\}。
由于[a,b]是有界的，根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，可推出存在\{x_n\}的一个收敛的子序列\{x_{n_k}\}。把它的极限记为x。由于[a,b]是闭区间，它一定含有x。因为f在x处连续，我们知道\{f(x_{n_k})\}收敛于实数f(x)。
但对于所有的k，都有f(x_{n_k})>n_k\ge k，这意味着\{f(x_{n_k})\}发散于无穷大。
前者描述為收斂，後者描述為無窮大，得出矛盾。因此，f在[a,b]内有上界。同理f在[a,b]内有下界。证毕。
极值定理的证明1
基本步骤为：
寻找一个序列，它的像收敛于f的最小上界。
证明存在一个子序列，它收敛于定义域内的一个点。
用连续性来证明子序列的像收敛于最小上界。
我们现在证明函数f在区间[a,b]内有最大值。根据有界性定理，f有上界，因此，根据实数的戴德金完备性，f的最小上界M存在。我们需要寻找[a,b]内的一个d，使得M=f(d)。设n为一个自然数。由于M是最小上界，M-\frac{1}{n}就不是f的上界。因此，存在[a,b]内的d_n，使得M-\frac{1}{n}。这便定义了一个序列\{d_n\}。由于M是f的一个上界，即便是对于所有的n，我们仍有M- \frac{1}{n} 。因此，序列\{f(d_n)\}收敛于M。
根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，可知存在一个子序列\{d_{n_k}\}，它收敛于某个d，且由于[a,b]是闭区间，d\in[a,b]。因为f在d处连续，所以序列\{f(d_{n_k})\}收敛于f(d)。但\{f(d_{n_k})\}是\{f(d_n)\}的一个子序列，收敛于M，因此M=f(d)。所以，f在d处取得最小上界M。证毕。
极值定理的证明2
设M是f在区间[a,b]上的最小上界，我们要证明存在d\in[a,b]使得f(d)=M。我们使用反证法：如若不然，对任意 x\in[a,b]，f(x)\neq M，所以，对任意的x\in[a,b]，f(x)。我们考虑正值的函数
:g(x)=\frac1{M-f(x)}.
因为分母不是零，这个函数是良定义的，并且是连续的。然而，由于M是f (x)的最小上界，所以存在 x\in[a,b]，使得f (x)可以无限地接近M，从而g(x)是无界的。这和有界性定理矛盾。证毕。
注: 上面构造函数g(x)来证明最大值能在某个d取到的方法也在代数基本定理的基于Liouville定理的证明中出现。
例子
以下的例子说明了为什么函数的定义域需要是闭的和有界的。
定义在[0,\infty)的函数f(x) = x没有上界。
定义在[0,\infty)的函数f(x)=\frac{x}{1+x}有界，但不取得最小上界1。
定义在(0,1]的函数f(x)=\frac{1}{x}没有上界。
定义在(0,1]的函数f(x)=1-x有界，但不取得最小上界1。
推广到半连续函数
如果把f的连续性减弱为半连续，则有界性定理和极值定理的对应的一半仍然成立，且扩展的实数轴上的值-\infty和+\infty也可以允许为可能的值。更加精确地：
定理：如果函数f: [a,b] \rightarrow [-\infty, \infty)是上半连续的，也就是说，对于[a,b]内的所有x，都有：
:\limsup_{y\to x} f(y)\le f(x)，
那么f有上界，且取得最小上界。
证明：如果对于[a,b]内的所有x，都有f(x)=-\infty，那么最小上界也是-\infty，于是定理成立。在任何其它情况下，只需把上面的证明稍加修改便可。在有界性定理的证明中，f在x处的半连续性只意味着子序列\{f(x_{n_k})\}的上极限有上界f(x)，但这已足以得到矛盾。在极值定理的证明中，f在d处的半连续性意味着子序列\{f(d_{n_k})\}的上极限有上界f(d)，但这已足以推出f(d)=M的结论。证毕。
把这个结果应用于-f，可得：
定理：如果函数f: [a,b] \rightarrow (-\infty, \infty]是下半连续的，也就是说，对于[a,b]内的所有x，都有：
:\liminf_{y\to x} f(y)\ge f(x)
那么f有下界，且取得最大下界。
一个实函数是上半连续且下半连续的，当且仅当它是连续的。因此，从这两个定理就可以推出有界性定理和极值定理。
参考文献
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外部链接
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