卢津定理

卢津（）定理是实分析的定理。約略來說，這定理指可測函數差不多是連續函數。

定理敘述
一維形式
設f:[a,b]\to\mathbb C是可測函數，對任何\epsilon>0，都存在緊緻集E\subset[a,b]，使得\lambda([a,b]\setminus E)，而且f限制到E上是連續函數。此處\lambda是勒貝格測度。

證明
因為f可測，所以在一個測度任意小的開集以外，f是有界函數。在開集上重定義f為0，那麼f在[a,b]上有界，因而是可積函數。因為連續函數在可積函數的空間\mathrm L^1([a,b])中稠密，存在連續函數序列g_i依L1範數收斂至f，即\int_a^b\left|g_i-f\right|\to 0。故此有子序列g_{i_k}幾乎處處收斂至f。從葉戈羅夫定理可知，除了一個測度任意小的開集外，g_{i_k}一致收斂至f。因為連續函數的一致收斂極限仍是連續的，故此f在此開集外連續。取E為以上兩個開集的並集在[a,b]中的補集，那麼原本的f在E上連續。

多維形式
設\mu是\mathbb{R}^n 上的正則博雷爾測度，f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m是\mu可測函數。X是\mathbb{R}^n 中的\mu可測集，而且\mu(X) ，那麼對任意\epsilon>0，X中存在緊緻集K，使得\mu(X\backslash K) ，而且f限制到K上是連續函數。

首先，對每個正整數i，構造緊緻集K_i和在其上的連續函數g_i，使得
::\mu(X\setminus K_i)
且在K_i上有
::\left|f(x)-g_i(x)\right|

構造方法如下：

將\mathbb R^m分成兩兩不交的博雷爾集(Y_{ij})_{j=1}^\infty，使得每個集的直徑都小於1/i。函數f可測，所以每個集的原像f^{-1}(Y_{ij})是可測集。令X_{ij}=X\cap f^{-1}(Y_{ij})，則X_{ij}將X分成兩兩不交的可測集。

由於\mu是博雷爾正則測度，且\mu(X)，於是\mu限制到X上是拉東測度。由拉東測度的內正則性，在X_{ij}中存在緊緻子集K_{ij}，使得
::\mu(X_{ij}\setminus K_{ij})
所以全部子集X_{ij}\setminus K_{ij}的不交並集的測度
::\mu(X\setminus\bigcap_{j=1}^\infty K_{ij})

因為\mu(X\setminus\bigcap_{j=1}^\infty K_{ij}) =\lim_{n\to\infty}\mu(X\setminus\bigcap_{j=1}^n K_{ij})，可以取足夠大的N使得
::\mu(X\setminus\bigcap_{j=1}^N K_{ij})

令K_i=\bigcap_{j=1}^N K_{ij}。有限個緊緻集的並集是緊緻集，所以K_i緊緻。因此K_i滿足要求。

對j=1,..., N，在Y_{ij}中任取一點y_{ij}，並在K_{ij}上定義g_i(x)=y_{ij}。

因為在K_{ij}上，f的值包含在Y_{ij}中，故此f和g_i相差小於1/i。而K_{ij}是兩兩不交的緊緻集，故兩兩間的距離都是正數，所以g_i在K_i上是連續函數。因此g_i滿足要求。

取K=\bigcap_{i=1}^\infty K_i，K是緊緻集，並有
::\mu(X\setminus K)\leq \sum_{i=1}^\infty\mu(X\setminus K_i)
函數列g_i在K上一致收斂到f。一致收斂保持函數的連續性，所以f在K上連續。

參考
Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure theory and fine properties of functions*. CRC Press.