离散傅里叶级数

离散傅里叶级数（DFS）与连续傅立叶级数相比有很大的区别。最大的不同在于离散时间傅里叶级数的系数序列是周期的。

离散傅里叶级数的公式
周期为N的周期序列\left\{ a_n\right\}，其离散傅里叶级数为\left\{ x_k \right\}：

x[k]=\sum_{n=} a_n\cdot e^{-in(\frac{2\pi}{N})k}

其中，DFS的逆变换序列：

a_n=\frac{1}{N}\sum_{k=} x[k]\cdot e^{in(\frac{2\pi}{N})k}
（k=表示对一个周期N内的值求和）

进一步分析
连续周期信号的离散化（下面的讨论中，\omega_0=\frac{2\pi}{T}）：
#首先，在傅里叶级数一文中，我们知道函数f(t)=e^{i(\frac{2\pi}{T})t}是对于任意的T是周期为T的函数，然而其对应的离散信号则不一定是周期的，可以证明，只有当\frac{\omega_0}{2\pi}是有理数时，离散信号f[n]才是周期函数。
#其次，在满足条件1的前提下，连续周期信号f_k(t)对应的离散信号f_k[n]=e^{ik(\frac{2\pi}{N})n}对k也具有周期性，其周期为N,即f_k[n]中只有N个不同的序列。
#从离散时间傅里叶变换的系数公式我们可以看出，a_k也是对k周期为N的函数。
#离散傅里叶变换实际上是离散时间傅里叶级数在主值区间上的取值。我们注意到，离散傅里叶变换是对非周期函数f[n]进行的，如果我们对f[n]的定义拓广为周期函数f'[n]：f'[n]=\sum _{i=-\infty}^{+\infty}f(n+i\cdot N)。并且当N\to \infty时，f'[n]实际上就是f[n]，那么我们现在可以求出f'[n]的傅里叶级数。同样，当N\to \infty时无穷级数变成了积分，得到的结果是一个连续的周期函数X(e^{i\omega})（正如离散傅里叶变换一文中所述），这就是f[n]的离散时间傅里叶变换。这时，只需在它的主值区间上采样，就可以得到离散傅里叶变换的变换序列。

参阅
*傅里叶级数
*傅里叶变换
*离散傅里叶变换
*离散时间傅里叶变换