在数学分析中，狄利克雷定理（或若尔当—狄利克雷定理,狄利克雷条件）是关于傅里叶级数逐点收敛的一个结果。这个定理的最初版本是由德国科学家狄利克雷在公元1829年证明的。由于当时还没有出现适合的积分理论，狄利克雷的证明只能适用于足够规则的函数（除了在有限点以外都单调的函数）。
定理的推广版本则是由法国数学家卡米尔·若尔当在1881年的证明的，适用于所有局部有界变差函数。
定理的叙述
设 f 为一个在\mathbb{R}上的周期性的局部可积函数，其周期为2\pi。给定 x_0 \in \mathbb{R}，假设有以下条件成立：
#函数 f 在 x_0 处有左极限和右极限，分别记为 f(x_0^+) 和 f(x_0^-)。
#存在正实数：\alpha > 0，使得以下的两个积分收敛：
:\int_0^\alpha \frac{t} {\mathrm d} t, \qquad
\int_0^\alpha \frac{t} {\mathrm d} t
那么，函数 f 的傅里叶级数在x_0 处收敛，并且有：
: \lim\limits _n (S_nf(x_0))=\frac12(f(x_0^+)+f(x_0^-))
定理成立的一个特例是当函数 f 在x_0 处有左导数和右导数的时候，又或者是当函数是分段\mathcal{C}^{1}函数（见光滑函数）的时候。
证明
定理的证明是基于以下事实：傅里叶函数可以通过卷积以及拥有良好性质的三角多项式：狄利克雷核来计算。
:D_n(x)=\sum_{k=-n}^n
e^{ikx}=\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)},
:S_n(f)(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)D_n(x-t) dt=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D_n(t)f(x-t) dt
这里使用的是狄利克雷核的第二种形式：
:S_n(f)(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x-t)}{\sin\frac t 2} dt
这种写法接近于使用黎曼-勒贝格定理所需的条件，唯一需要考虑的地方是函数 \frac{f(x-t)}{\sin(t/2)} 在0附近并不一定可积。但是由于：
:\tilde{f}(x) = \frac{ f(x^+)+f(x^-)}{2}
存在，可以考虑将区间[ -\pi , 0)上的积分用u = -t换元，这样 S_n(f)(x) 就变成：
:S_n(f)(x) = \int_0^{\pi}
\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x+t)+f(x-t)}{\sin\frac t 2} dt
因此：
:S_n(f)(x)-\tilde{f}(x)=\frac1{2\pi}\int_0^{\pi}
\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x+t)+f(x-t)}{\sin\frac t 2} dt
-\frac{1}{2} \left( f(x^+)+f(x^-) \right)
而由于狄利克雷核在区间[ -\pi, \pi ]上的积分平均值是1，也就是说：
:1 = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D_n(t) dt=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{\sin(t/2)} dt = 2 \cdot \frac1{2\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{\sin(t/2)} dt
:\frac12 = \frac1{2\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{\sin(t/2)} dt
因此：
:\begin{align}
S_n(f)(x)-\tilde{f}(x) &= \frac1{2\pi}\int_0^{\pi}
\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x+t)+f(x-t)}{\sin\frac t 2} dt \\
&- \frac1{2\pi}\int_0^{\pi} \frac{ \sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{\sin\frac t 2} \left( f(x^+)+f(x^-) \right) dt \\
&= \frac1{2\pi}\int_0^{\pi}
\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x+t)+f(x-t)-f(x^+)-f(x^-)}{\sin\frac t 2} dt
\end{align}
由条件二，以上的积分中可以使用黎曼-勒贝格定理，因此可以对两边求极限，得到：
: \lim_{n\to \infty} S_n(f)(x) = \tilde{f}(x)
参见
- 傅里叶级数
- 狄利克雷核
- 费耶核
注释与参考
参考书籍
*p.46-52.
*
评论 (0)