在數學中，特別是實分析，利普希茨連續（）以德國數學家魯道夫·利普希茨命名，是一個比一致連續更強的光滑性條件。直覺上，利普希茨連續函數限制了函數改變的速度，符合利普希茨條件的函數的斜率的绝对值，必小於一個稱為利普希茨常數的實數（該常數依函數而定）。
在微分方程，利普希茨連續是皮卡-林德洛夫定理中確保了初值問題存在唯一解的核心條件。一種特殊的利普希茨連續，稱為壓縮應用於巴拿赫不動點定理。
利普希茨連續可以定義在度量空間上以及賦范向量空間上；利普希茨連續的一種推廣稱為赫爾德連續。
定義
對於在實數集的子集的函數f \colon D \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} ，若存在常數K，使得|f(a)-f(b)| \le K|a-b| \quad \forall a,b \in D，則稱f 符合利普希茨條件，對於f 最小的常數K 稱為 f 的利普希茨常數。
若K ，f 稱為收縮映射。
利普希茨條件也可對任意度量空間的函數定義：
給定兩個度量空間(M, d_M), (N, d_N)，U \subseteq M。若對於函數f : U \to N，存在常數K 使得
: d_N(f(a), f(b)) \le K d_M(a,b) \quad \forall a,b \in U
則說它符合利普希茨條件。
若存在K \ge 1使得
:\frac{1}{K} d_M(a,b) \le d_N(f(a), f(b)) \le K d_M(a, b) \quad \forall a,b \in U
則稱f為双李普希茨(bi-Lipschitz)的。
皮卡-林德洛夫定理
若已知y(t)有界，f符合利普希茨條件，則微分方程初值問題y'(t) = f(t,y(t)),\quad y(t_0)=y_0剛好有一個解。
在應用上，t通常屬於一有界閉區間（如[0,2 \pi]）。於是y(t)必有界，故y有唯一解。
例子
- f:[-3,7] \to \mathbb{R},\quad f(x)=x^2符合利普希茨條件，K=4。
- f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\quad f(x)=x^2不符合利普希茨條件，當x \to \infty , \quad f'(x) \to \infty。
- 定義在所有實數值的f(x)=\sqrt{x^2+5}符合利普希茨條件，K=1。
- f(x)=|x|符合利普希茨條件，K=1。由此可見符合利普希茨條件的函數未必可微。
- f: [0,1] \to [0,1], \quad f(x)=\sqrt{x}不符合利普希茨條件，x \to 0, \quad f'(x) \to \infty。不過，它符合赫爾德條件。
- 若且唯若處處可微函數f的一次導函數有界，f符合利普希茨條件。這是中值定理的結果。所有C^1函數都是局部利普希茨的，因為局部緊緻空間的連續函數必定有界。
性質
*符合利普希茨條件的函數連續，实际上一致連續。
*双李普希茨(bi-Lipschitz)函數是單射。
Rademacher定理：若A \subseteq \mathbb{R}^n且A為開集，f : A \to \mathbb{R}^n符利普希茨條件，則f幾乎處處可微。
*Kirszbraun定理：給定兩個希爾伯特空間H_1,H_2，U \in H_1，f: U \to H_1符合利普希茨條件，則存在符合利普希茨條件的F: H_1 \to H_2，使得F的利普希茨常數和f的相同，且F(x)=f(x) \quad \forall x \in U。
參考
评论 (0)