實值函數
為單位的质量是一個實值函數的例子。]] 實值函數是值域為实数的函数，也就是可以為其定義域的每個成員都指定一個實數。 實變數的實值函數（实函数）和實值的是微积分学和实变函数论研究的主要主題。許多函数空间都包括實值函數。 代數結構 令{\mathcal F}(X,{\mathbb R})是從集合到實數\mathbb R所有函數的集合。因為\mathbb R是個域，{\mathcal F}(X,{\mathbb R})可以變成實數上的向量空间…
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處處不連續函數
處處不連續函數是一數學名詞，是指在其定義域上的每一點都不連續的函數。若f(x)為一函數，定義域和值域都是實數，若針對每一個x，都存在\epsilon>0，使得針對每一個\delta>0，都可以找到y，使下式成立，則f(x)為處處不連續函數： 0 換句話說，不論距固定點多近，都有距固定點更近的點使函數的值偏離固定點對應的值。例如狄利克雷函数就是一個處處不連續函數。 處處不連續函數的性質不是函數典型的現象，有病態特性。 若將定義中的絕對值改…
拉回
拉回（）是数学中一个基本概念，涉及到两个不同但关联的程序：预复合与纤维积。与之对偶的概念是前推。 预复合 和一个函数的预复合也许提供了拉回最基本的概念：简单地说，设 f 是一个变量 y 的函数，这里 y 自身又是另一个变量 x 的函数，那么 f 可以写成 x 的函数，这即 f 被函数 y(x) 拉回。 f(y(x)) \equiv g(x) 这样一个基本程序，经常不经意地出现，比如在初等微积分中：有时也称为“忽略拉回”，从流体力学到微分…
数学分析
中的奇异吸子，微分方程是泛數學分析（指数学分析及其紧密相关的后续学科的简称）中的重要領域，在科學及工程中有許多的應用]] 数学分析学，也稱分析数学、分析学或解析学（），是普遍存在於大学数学-{zh-cn:专业;zh-tw:系所}-的一门基础课程。大致与非數學-{zh-cn:专业;zh-tw:系所}-学生所學的高等数学課程内容相近，但內容更加深入，一般指以微积分学、无穷级数和解析函數等的一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础的一个较为完…
变分法
变分法是数学分析中的一个分支，它通过研究函数与泛函的微小变分，来求解泛函的极大值与极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。 变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大…
单值性
的虚部。在\mathbb{C}\backslash \{0\}上定义复对数，会沿不同路径得到不同答案。这就产生了无限循环单值群，以及\mathbb{C}\backslash \{0\}的螺旋曲面（黎曼曲面之一）覆盖。]] 数学中，单值性（monodromy）研究的是数学分析、代数拓扑、代数几何与微分几何中的对象在“绕着奇点旋转”时的行为。这个领域同覆叠映射及其到分歧的退化密切相关。引发单值现象的方面是，我们想定义一个绕奇点旋转时不保持单…
冈布茨
]] 冈布茨（，）是第一个被制造出来的为人所知的具有单单稳态性质的三维凸均勻體，在平面上，单单稳态物体只具有一个稳定和一个不稳定的力学平衡点。1995年俄羅斯數學家弗拉基米爾·阿諾爾德猜想存在這類三維凸均勻體。2006年匈牙利科学家和瓦爾科尼·彼得證明了這類物體存在並構造出來。单单稳态的形态多种多样，它们中大多数都接近圆形并且有着非常严苛的形状公差要求（大约千分之一）。 冈布茨作为第一个被制造出来的单单稳态形状极为出名。它具有如图所示的…
不动点
在数学中，函数的不动点或定点是指被这个函数映射到其自身一个点。例如，定义在实数上的函数f， :f(x)=x^2-3x+4， 则2是函数f的一个不动点，因为f(2)=2。 也不是每一个函数都具有不动点。例如定义在实数上的函数f(x)=x+1就没有不动点。因为对于任意的实数，x永远不会等于x+1。用画图的话来说，不动点意味着点(x,f(x))在直线y=x上，或者换句话说，函数f的图像与那根直线有共点。上例f(x)=x+1的情况是，这个函数的…
0的0次方
0的0次方（），寫作0^0，是極限的不定式之一，在排列組合以及群論中，常用的慣例是定義為1，在微積分中則通常沒有定義，因為極限\lim_{(x,y) \to (0,0)}x^y不存在。而在不同的程式語言中，0^0的表達式也並不相同，如C++將0^0定義為1。 離散指數 許多涉及自然數指數的常用公式中必須將0^0定義為1；例如，下列三個關於b^0的解釋使b=0的意義與正整數b相同： 將b^0解釋為空乘積 將b^0組合解釋為b元素集合中元素…
分布 (数学分析)
数学分析中，分布（distribution）是广义函数的一种，由法国数学家洛朗·施瓦茨首先于二十世纪五十年代引入，因此又称施瓦兹分布（Schwartz distribution）、施瓦兹广义函数（Schwartz generalized function）。分布推广了普通意义上的函数概念：对于普通意义上不可导甚至不连续的函数，可以具备分布意义上的导数。事实上，任意局部可积的函数都有分布意义上的弱导数。在偏微分方程的研究中，常常使用分布来…
极限
极限可以指： 數學 极限 (数学) 函數極限 数列极限 網 (數學) 极限 (范畴论) 极限点 上极限和下极限 流行文化 極限 (專輯)，徐佳瑩的專輯 Limit 界限，末延景子的漫畫作品 極限運動
几何分析
幾何分析（）是數學分析的分支，把非线性偏微分方程的方法解決幾何和理論物理學問題的數學領域。 歷史 華人數學家丘成桐在1978年的國際數學家大會的大會報告中系統描繪了幾何分析與高維單值化理論的發展，丘成桐在微分幾何中系統地發展了偏微分方程的方法，解決了卡拉比猜想的证明，為幾何與分析的融合，現在被稱為幾何分析的數學分支作出了貢獻。 理查德·哈密頓教授在黎曼几何之中引入了里奇流 (Ricci flow)。这一套偏微分方程通过空间自身的弯曲决定…
贝特朗判别法
贝特朗判别法（）是正项级数敛散性的一种判别方法，分析通过级数项作成的形如\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1 \right)-1\right)\ln{n}序列的极限，可以更为精细地讨论级数的收敛性，可以看作达朗贝尔判别法、拉阿伯判别法或的推论。 定理 设 \sum_{n=1}^\infty a_n 是欲判断敛散性的级数，定义序列 \mathcal{B}_n=\left(n\left(\frac{a_n}{…
微元法
微元法（），也叫元素法、微元素法、无穷小元素的求和法，是数学和物理中常用的一种求解数学和物理问题的方法。 概述 在求解力学量和物理量的实际应用中，很多新量的建立需要类似定积分中在求解面积和路程问题时分割、近似、求和、取极限的过程，为了使这一过程简化，微元法也就应运而生，微元法本身就是定积分的原始思想，它可以看做分割、近似、求和、取极限的简略过程，所以微元法也是一种思想方法。 历史上，在微积分的理论基础还不清楚，微分还没有严格定义时，微分…
二階導數
的二階導數是常數。]] 微积分中，函數 f 的二階導數（或）是其导数的導數。粗略而言，某量的二階導數，描述該量的變化率本身是否變化得快。例如，物體位置對時間的二階導數是瞬時加速度，即該物體的速度隨時間的變化率。用： :\boldsymbol{a} = \frac{\mathrm d\boldsymbol{v}}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d^2\boldsymbol{x}}{\mathrm dt^2}, 其…
九點模版
数值分析中，假設有在二維空間下的方形網格，一個點的九點模版（）是指包括其周圍八個點和其自身的模版。九點模版可以用差分來近似中央點的導數，是數值微分的範例之一。九點模版常用在近似二個變數的拉普拉斯算子。 動機 若用有限差分法，將二維的拉普拉斯算子離散化，可以得到常見的五點模版，表示為以下的卷积核： D_{CD}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix…
谢尔盖·纳塔诺维奇·伯恩施坦
谢尔盖·纳塔诺维奇·伯恩施坦（，）是一位俄国及苏联的数学家，他在1904年在巴黎大学上交的博士论文解决了椭圆微分方程的希尔伯特第十九问题。之后，他发表了许多涉及概率论、构造性功能理论以及基因学的数学基础的著作。从1906年至1933年，他加入了哈尔科夫数学协会。 參見 伯恩施坦問題 参考资料
无穷小分析引论
《无穷小分析引论》（），是瑞士数学家萊昂哈德·歐拉的一部共两卷之著作。出版于1748年，第一部包含18个章节，第二部包含22个章节。这本书是第一本现代数学分析学著作。 外部链接 * [https://web.archive.org/web/20120929235715/http://www.math.usma.edu/people/Rickey/hm/Euler-Introductio.pdf A Reader's Guide to E…
H square
H2或H-square是數學及控制理論的用語，是指有平方范数的哈代空間，是L2空間的子集合，因此也是希尔伯特空间。特別的是，H2空間也是。 單位圓盤內的H2空間 一般而言，單位圓盤內L2空間的元素可以表示為 :\sum_{n=-\infty}^\infty a_n e^{in\varphi} 而H2空間的元素可以表示為 :\sum_{n=0}^\infty a_n e^{in\varphi}. 從L2空間到H2空間的映射（令n n = …
Ε-δ语言
ε-δ语言，或極限的(ε, δ)定義（）是一种在数学分析中仅使用（有限多的）实数值来定义极限的方法。 历史背景 由牛顿和莱布尼茨创立的微积分，使用了无穷小（小于任何正实数的正实数）和无穷大（大于任何实数的数）等无法在实数范围内定义的概念。这样的状态一直持续到了18世纪，在欧拉将微积分大幅发展时仍未解决。当时的数学家在发展他们的理论时都没有考虑过发散和收敛的严密的定义，导致他们常常得出错误的结论。 进入19世纪，柯西、波尔查诺等人试图根据…